مقدمه: در تاریع آمده است که اولین بار یک ریاضیدان انگلیسی تبار به نام کیلی ماتریس را در ریاضیات وارد کرد. با توجه به آنکه در آن زمان ریاضیدانان اغلب به دنبال مسائل کاربردی بودند، کسی توجهی به آن نکرد. اما بعدها ریاضیدانان دنباله ی کار را گرفتند تا به امروز رسید که بدون اغراق می توان گفت در هر علمی به گونه ای با ماتریس ها سروکار دارند. یکی از نقش های اصلی ماتریس ها آن است که آنها ابزار اساسی محاسبات عملی ریاضیات امروز هستند، درست همان نقشی که سابقاً اعداد بر عهده داشتند. از این نظر می توان گفت نقش امروز ماتریس ها همانند نقش دیروز اعداد است. البته، ماتریس ها به معنایی اعداد و بردارها را در بر دارند، بنابراین می توان آنها را تعمیمی از اعداد و بردارها در نظر گرفت. در ریاضیات کاربردی ماتریس ها از ابزار روز مره هستند، زیرا ماتریس ها با حل دستگاه معادلات خطی ارتباط تنگاتنگی دارند و برای حل ریاضی مسائل عملی، مناسبترین تکنیک، فرمول بندی مسئله و یا تقریب زدن جوابهای مسئله با دستگاه معادلات خطی است که در نتیجه ماتریس ها وارد کار می شوند. اما، مشکلی اصلی در ریاضیات کابردی این است که ماتریس های ایجاد شده، بسیار بزرگ هستند و مسئله اصلی در آنجا کار کردن با ماتریس های بزرگ است. از جنبه نظری، فیزیک امروزی که فیزیک کوانتوم است، بدون ماتریس ها نمی توانست به وجود آید. هایزنبرگ – اولین کسی که در فیزیک مفاهیم ماتریس ها را به کار برد- اعلام کرد «تنها ابزار ریاضی که من در مکانیک کوانتوم به آن احتیاج دارم ماتریس است.» بسیاری از جبرها مانند جبر اعداد مختلط و جبر بردارها را با ماتریس ها بسیار ساده می توان بیان کرد. بنابراین با مطالعه ماتریسها، در واقع یکی از مفیدترین و در عین حال جالبترین مباحث ریاضی مورد بررسی قرار می گیرد.
تعریف ماتریس: اگر بخواهیم مانند کیلی، ماتریس را تعریف کنیم، باید گفت هر جدول مستطیلی که دارای تعداد سطر و ستون است و در هر خانه آن یک عدد وجود دارد یک ماتریس است. به عبارت دیگر هر آرایشی از اعداد مانند مثالهای زیر را ماتریس می گویند.
اگر ماتـریس       را A بنامیـم، در این صورت ماتـریس ] ۱۵و۱۰ و ۱-[ را سطـر اول و ] ۱۹و۷ و۵[ را سطر دوم و  ،      ،      را به ترتیب ستون اول، ستون دوم، ستون سوم A گویند. ماتریس A را که دارای دو سطر و ستون است یک ماتریس دو در سه (۲و۳) می گویند. اصطلاحاً می گوییم A از مرتبه ۲ در ۳ است. (نوشته می شود ۳×2). بنابراین ماتریس ] ۷و۵ و۱۲[ B= یک ماتریس ۴×1 و ماتریس C یک ماتریس ۳×3 است.
به اعداد یا اشیاء واقع در جدول ماتریس درایه های آن ماتریس می گویند. درایه های هر ماتریس در جا ومکان مشخصی قرار دارند. مثلاً در ماتریس     درایه ۳ در سطر اول و ستون اول است. همچنین درایه سطر دوم، ستون سوم عدد ۶ است. به طور کلی اگر درایه های سطر I ام ستون jام را با aij نشان دهیم؛ داریم
… و ۵=۱۲a    2=22a        3=11a
به طور کلی یک ماتریس دلخواه ۳×2 را بصورت زیر نمایش می دهیم:
اغلب برای سهولت، به جای نمایش ماتریس به صورت فوق، آن را با نماد ۳*۲[aij]نشان می دهند که در آن aij را درایه یا عنصر عمومی ماتریس ۳*۲[aij] گویند. به طور کلی برای ساختن انواعی از ماتریس های دیگر می توانیم به جای آن که درایه های ماتریس را از اعداد حقیقی انتخاب کنیم، درایه ها را از اعداد مختلط عناصر یک میدان، توابع و یاحتی ماتریس ها انتخاب کنیم.
در حالت کلی یک ماتریس m*n بصورت A=[aij]m*n عبارت است از:

ماتریس های مربع: اگر در یک ماتریس تعداد سطرها و ستون ها مساوی باشد، آن را ماتریس مربع گویند. در این حالت اگر یک ماتریس مانند A دارای مرتبه ی n*n باشد، گوییم A یک ماتریس مربع مرتبه n است. مجموعه ماتریس های مربع مرتبه ی n را با      یا      نشان می دهند.
درایه های ۱۱a و ۲۲a و… و anx یک ماتریس مربع مرتبه n باشد، مجموع درایه های قطر اصلی A را اثر ماتریس A می نامند و با نماد tr(A) نشان می دهند. بنابراین:
در واقع اثر ماتریس، تابعی از مجموعه ماتریسهای مربع در مجموعه اعداد حقیقی است، یعنی
مثال: اگر         درایه های قطر اصلی A عبارتند از ۴- و ۶- بنابراین
۲=۶+۴-tr(A)
ماتریس سطری: ماتریس هایی را که فقط یک سطر دارند ماتریس سطری یا بردار سطری می نامند. مثلاً ماتریس     ی ماتریس سطری *n1 است.
ماتریس ستونی: ماتریسی است که فقط دارای یک ستون باشد. هر ماتریس ستونی را بردار ستونی نیز می گویند. مثلاً ماتریس زیر یک ماتریس ستونی ۱×m است.
ماتریس صفر: ماتریسی است که همه درایه هایش صفر باشد. بنابراین ماتریس     ماتریس صفر است. هرگاه:
ماتریس صفر از مرتبه m*n را با نماد Qm*n نشان می دهند.
مثال:
اگر مرتبه ماتریس صفر، داده شده باشد و یا از طریق متن، مرتبه آن معلوم باشد، در اینصورت برای سهولت ماتریس صفر را با و یا حتی با O نشان می دهند.
تساوی ماتریس ها: هرگاه در ریاضیات اشیا جدیدی معرفی شوند، باید مشخص شوند که چه وقت دوتای آنها با هم مساویند. مثلاً در مجموعه اعداد گویا دو عدد دو سوم و چهار ششم را، علیرغم اینکه یک شکل نیستند، مساوی می نامند. در مورد اعدادگ ویا، دو عدد         را مساوی می گویند. هر گاه ad=bc تساوی ماتریسها نیز به صورت زیر تعریف می شود.
تعریف: دو ماتریس     و    مساویند هرگاه هم مرتبه باشند و درایه های نظیر در دو ماتریس (یعنی درایه های هم موضع) مساوی باشند. به عبارت دیگر، دو ماتریس    و    مساویند هر گاه داشته باشیم:
مثال:        و    تساوی A و B به این معناست که
جمع ماتریس ها: مجموع دو ماتریس    و    ماتریسی است که با نماد A+B نشان می دهیم و به صورت زیر تعریفق می شود.
توجه کنید که برای جمع دو ماتریس می بایست دو ماتریس هم مرتبه باشند. بنا به تعریف اگر A+B+C=[Cij] در اینصورت
برای این که تعریف فوق روشن تر شود، شکل گسترده آن را در حالت ماتریس های ۲×2 در زیر می آوریم
تذکر: با توجه به تعریف، جمع دو ماتریس A+B وقتی تعریف شده که A و B هم مرتبه باشند. در این صورت A و B را ماتریس های قابل جمع می گویند.
تعبیر عمل جمع دو ماتریس به مثابه یک ماشین: عمل جمع را می توان به منزله ماشینی تصور کرد که دارای دو ورودی و یک خروجی است (مطابق شکل)، به طوری که اگر دوماتریس مثلا۲×2 به آن بدهیم از خروجی آن یک ماتریس ۲×2 بیرون می اید.
قرینه یک ماتریس: اگر A یک ماتریس m*n باشد، قرینه A ماتریسی است از همان مرتبه که با نماد –A نشان می دهند و اگر     در این صورت بنا به تعریف
مثال: قرینه ماتریس    عبارت است از    و ملاحظه می شود که
خواص جمع ماتریس ها
الف) جمع ماتریسها خاصیت شرکت پذیری دراد
اثبات: فرض کنید    و    و    سه ماتریس هم مرتبه دلخواه باشند، نشان می دهیم
(A+B)+C=A+(B+C)
قبل از اثبات لازم است معنی عبارات (A+B)+C و A+(B+C) را بدانیم. در این مورد از تعبیر عمل جمع به مثابه عمل یک ماشین کمک می گیریم. از آنجا که ماشین جمع دو ورودی دارد نمی توان یکباره سه ماتریس را با هم جمع کرد، از این رو برای جمع سه   ماتریس A و B و C می توان ابتدا A و B را به ماشین داده و A+B را به دست آورد. سپس A+B و C را به ماشین می دهیم تا (A+B)+Cبه دست آید.
عبارت A+(B+C) به این معناست که نخست B و C را وارد ماشین کرده ایم و B+C را به دست آورده ایم و سپس (B+C)+A را بیرون می دهد.
حال می خواهیم نشان دهیم که در هر صورت ماتریس های بدست آمده مساویند برای این کار قرار می دهیم
درایه سطر I ام ماتریس =D+C درایه سطر I ام ستون j ام ماتریس (A+B)+C
ب) ماتریس صفر عضو بی اثر مجموعه ماتریس ها نسبت به عمل جمع است.
اثبات: فرض کنید     یک ماتریس دلخواه باشد، نشان می دهیم.
که در آن ماتریس صفر هم مرتبه با A است.
اثبات مشابه اثبات فوق است.
ج) هر ماتریس نسبت به عمل جمع دارای متقابل است.
دیدیم که قریبنه هر ماتریس A=[aij]، ماتریسی هم مرتبه با آن به صورت –A[-aij] است. در واقع –A متقابل A نسبت به عمل جمع است، زیرا قبلاً نشان دادیم

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیله شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن ۶۰ بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.
سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.
در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام ساده هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به ۱۸۰۰ سال قبل از میلاد است شامل چند رساله درباره علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رساله پاپیروس آهس است که درسال ۱۸۶۸ توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست.
 قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود.
نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (۶۳۹_۵۴۸ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.
در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (۵۷۲_۵۰۰ قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمود.
پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در ۴۹۰ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم. در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسه جدید ما را تشکیل می‌دهند.
در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.
در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد.
پس از مرگ این فاتح مقتدر در ۳۲۳ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانه بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند. اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند.
 در قرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای ۱۶۱تا ۱۲۶ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.
هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را نیز به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
در سال ۴۷ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال ۳۰ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد. در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند. بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدوره کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبه نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال ۸۲۷ از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند.
منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس درباره چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است.
پاپوس که دوره زندگانیش در حدود ۳۵۰ میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعه ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسأله معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسه ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند.
در این احوال هندوستان به منزله یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود.
در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:
آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا «لیلاواتی» گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد! با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.
در سال ۶۲۲م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلماز مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سده هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در ۶۳۲ به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند. در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.
از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمیمی‌باشد که در سال ۸۲۰ به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.
وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادله درجه اولرا بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است.
دیگر ابوالوفا (۹۹۸_ ۹۳۸) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(۱۰۳۹_ ۹۶۵) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوماست.
قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامه مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.
برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (۱۲۲۰_۱۱۷۰) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.
در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال ۱۴۴۰ بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعه منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد.
در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند.
رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی درباره مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کامل مثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد.
ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت.
در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (۱۶۰۳_۱۵۴۰م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابله جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایره دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادله درجه چهارم را ساخت. کشور دانش خیز هلند نیز در اواخر این قرن مهد آزادی و یکی از مراکز مهم علمی جهان شده بود. آدرین‌رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان بنام وان سولن تا ۳۰ رقم اعشار آن را بدست آورد.
همچنین انگلستان که در آغاز قرن شانزدهم برای پیشرفت علم جبرکوشیده بود اینک با کشف لگاریتم بوسیله جان نپر تئوری فن محاسبه عددی را یک قدم قطعی بجلو برد. کوپرنیک(۱۵۴۳_۱۴۷۳) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم در کتاب مشهور خود بنام «درباره دوران اجسام آسمانی» که همزمان با مرگش انتشار یافت تصویری از منظومه شمسی بدست داد که امروز هر دانش آموزی با آن آشناست:
۱٫    مرکز منظومه شمسی، خورشید است نه زمین.
۲٫    در حالی که ماه بگرد زمین می‌چرخد، سیارات دیگر، همراه با خود زمین بگرد خورشید می‌چرخند.
۳٫    زمین در هر ۲۴ ساعت یکبار حول محور خود می‌چرخد نه کره ستاره‌های ثابت.
پس از مرگ کوپرنیک در قلب اروپا، در کشور دانمارک مردی بنام تیکو براهه متولد شد که کارهای او پایه و اساس انقلاب قریب الوقوع نجوم گردید. وی نشان داد که حرکت سیارات کاملاً با نمایش و تصویر دایره‌های هم‌مرکز وفق نمی‌دهد. از آنجا که تیکو براهه بیشتر به رصدهای مستقیم و اندازه‌گیری سرگرم بود، هیچ کوشش برای تجزیه و تحلیل نتایج خود انجام نداد و این کار به یوهان کپلر که در سال آخر زندگی تیکو براهه دستیار وی بود محول گشت.
پس از سال‌ها کار، وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل نمی‌پیمایند بلکه همه آنها بر روی بیضی‌هایی حرکت می‌کنند که خورشید در یکی از دو کانون آنها قرار دارد. همچنین وی در نخستین‌بار اصل ماند (اصل جبر) را در مکانیک حدس زد که بعدها بوسیله گالیله صورت تحقیق یافت.