آشنايي با ماتريسها

مقدمه: در تاریع آمده است که اولین بار یک ریاضیدان انگلیسی تبار به نام کیلی ماتریس را در ریاضیات وارد کرد. با توجه به آنکه در آن زمان ریاضیدانان اغلب به دنبال مسائل کاربردی بودند، کسی توجهی به آن نکرد. اما بعدها ریاضیدانان دنباله ی کار را گرفتند تا به امروز رسید که بدون اغراق می توان گفت در هر علمی به گونه ای با ماتریس ها سروکار دارند. یکی از نقش های اصلی ماتریس ها آن است که آنها ابزار اساسی محاسبات عملی ریاضیات امروز هستند، درست همان نقشی که سابقاً اعداد بر عهده داشتند. از این نظر می توان گفت نقش امروز ماتریس ها همانند نقش دیروز اعداد است. البته، ماتریس ها به معنایی اعداد و بردارها را در بر دارند، بنابراین می توان آنها را تعمیمی از اعداد و بردارها در نظر گرفت. در ریاضیات کاربردی ماتریس ها از ابزار روز مره هستند، زیرا ماتریس ها با حل دستگاه معادلات خطی ارتباط تنگاتنگی دارند و برای حل ریاضی مسائل عملی، مناسبترین تکنیک، فرمول بندی مسئله و یا تقریب زدن جوابهای مسئله با دستگاه معادلات خطی است که در نتیجه ماتریس ها وارد کار می شوند. اما، مشکلی اصلی در ریاضیات کابردی این است که ماتریس های ایجاد شده، بسیار بزرگ هستند و مسئله اصلی در آنجا کار کردن با ماتریس های بزرگ است. از جنبه نظری، فیزیک امروزی که فیزیک کوانتوم است، بدون ماتریس ها نمی توانست به وجود آید. هایزنبرگ – اولین کسی که در فیزیک مفاهیم ماتریس ها را به کار برد- اعلام کرد «تنها ابزار ریاضی که من در مکانیک کوانتوم به آن احتیاج دارم ماتریس است.» بسیاری از جبرها مانند جبر اعداد مختلط و جبر بردارها را با ماتریس ها بسیار ساده می توان بیان کرد. بنابراین با مطالعه ماتریسها، در واقع یکی از مفیدترین و در عین حال جالبترین مباحث ریاضی مورد بررسی قرار می گیرد.
تعریف ماتریس: اگر بخواهیم مانند کیلی، ماتریس را تعریف کنیم، باید گفت هر جدول مستطیلی که دارای تعداد سطر و ستون است و در هر خانه آن یک عدد وجود دارد یک ماتریس است. به عبارت دیگر هر آرایشی از اعداد مانند مثالهای زیر را ماتریس می گویند.
اگر ماتـریس       را A بنامیـم، در این صورت ماتـریس ] ۱۵و۱۰ و ۱-[ را سطـر اول و ] ۱۹و۷ و۵[ را سطر دوم و  ،      ،      را به ترتیب ستون اول، ستون دوم، ستون سوم A گویند. ماتریس A را که دارای دو سطر و ستون است یک ماتریس دو در سه (۲و۳) می گویند. اصطلاحاً می گوییم A از مرتبه ۲ در ۳ است. (نوشته می شود ۳×2). بنابراین ماتریس ] ۷و۵ و۱۲[ B= یک ماتریس ۴×1 و ماتریس C یک ماتریس ۳×3 است.
به اعداد یا اشیاء واقع در جدول ماتریس درایه های آن ماتریس می گویند. درایه های هر ماتریس در جا ومکان مشخصی قرار دارند. مثلاً در ماتریس     درایه ۳ در سطر اول و ستون اول است. همچنین درایه سطر دوم، ستون سوم عدد ۶ است. به طور کلی اگر درایه های سطر I ام ستون jام را با aij نشان دهیم؛ داریم
… و ۵=۱۲a    2=22a        3=11a
به طور کلی یک ماتریس دلخواه ۳×2 را بصورت زیر نمایش می دهیم:
اغلب برای سهولت، به جای نمایش ماتریس به صورت فوق، آن را با نماد ۳*۲[aij]نشان می دهند که در آن aij را درایه یا عنصر عمومی ماتریس ۳*۲[aij] گویند. به طور کلی برای ساختن انواعی از ماتریس های دیگر می توانیم به جای آن که درایه های ماتریس را از اعداد حقیقی انتخاب کنیم، درایه ها را از اعداد مختلط عناصر یک میدان، توابع و یاحتی ماتریس ها انتخاب کنیم.
در حالت کلی یک ماتریس m*n بصورت A=[aij]m*n عبارت است از:

ماتریس های مربع: اگر در یک ماتریس تعداد سطرها و ستون ها مساوی باشد، آن را ماتریس مربع گویند. در این حالت اگر یک ماتریس مانند A دارای مرتبه ی n*n باشد، گوییم A یک ماتریس مربع مرتبه n است. مجموعه ماتریس های مربع مرتبه ی n را با      یا      نشان می دهند.
درایه های ۱۱a و ۲۲a و… و anx یک ماتریس مربع مرتبه n باشد، مجموع درایه های قطر اصلی A را اثر ماتریس A می نامند و با نماد tr(A) نشان می دهند. بنابراین:
در واقع اثر ماتریس، تابعی از مجموعه ماتریسهای مربع در مجموعه اعداد حقیقی است، یعنی
مثال: اگر         درایه های قطر اصلی A عبارتند از ۴- و ۶- بنابراین
۲=۶+۴-tr(A)
ماتریس سطری: ماتریس هایی را که فقط یک سطر دارند ماتریس سطری یا بردار سطری می نامند. مثلاً ماتریس     ی ماتریس سطری *n1 است.
ماتریس ستونی: ماتریسی است که فقط دارای یک ستون باشد. هر ماتریس ستونی را بردار ستونی نیز می گویند. مثلاً ماتریس زیر یک ماتریس ستونی ۱×m است.
ماتریس صفر: ماتریسی است که همه درایه هایش صفر باشد. بنابراین ماتریس     ماتریس صفر است. هرگاه:
ماتریس صفر از مرتبه m*n را با نماد Qm*n نشان می دهند.
مثال:
اگر مرتبه ماتریس صفر، داده شده باشد و یا از طریق متن، مرتبه آن معلوم باشد، در اینصورت برای سهولت ماتریس صفر را با و یا حتی با O نشان می دهند.
تساوی ماتریس ها: هرگاه در ریاضیات اشیا جدیدی معرفی شوند، باید مشخص شوند که چه وقت دوتای آنها با هم مساویند. مثلاً در مجموعه اعداد گویا دو عدد دو سوم و چهار ششم را، علیرغم اینکه یک شکل نیستند، مساوی می نامند. در مورد اعدادگ ویا، دو عدد         را مساوی می گویند. هر گاه ad=bc تساوی ماتریسها نیز به صورت زیر تعریف می شود.
تعریف: دو ماتریس     و    مساویند هرگاه هم مرتبه باشند و درایه های نظیر در دو ماتریس (یعنی درایه های هم موضع) مساوی باشند. به عبارت دیگر، دو ماتریس    و    مساویند هر گاه داشته باشیم:
مثال:        و    تساوی A و B به این معناست که
جمع ماتریس ها: مجموع دو ماتریس    و    ماتریسی است که با نماد A+B نشان می دهیم و به صورت زیر تعریفق می شود.
توجه کنید که برای جمع دو ماتریس می بایست دو ماتریس هم مرتبه باشند. بنا به تعریف اگر A+B+C=[Cij] در اینصورت
برای این که تعریف فوق روشن تر شود، شکل گسترده آن را در حالت ماتریس های ۲×2 در زیر می آوریم
تذکر: با توجه به تعریف، جمع دو ماتریس A+B وقتی تعریف شده که A و B هم مرتبه باشند. در این صورت A و B را ماتریس های قابل جمع می گویند.
تعبیر عمل جمع دو ماتریس به مثابه یک ماشین: عمل جمع را می توان به منزله ماشینی تصور کرد که دارای دو ورودی و یک خروجی است (مطابق شکل)، به طوری که اگر دوماتریس مثلا۲×2 به آن بدهیم از خروجی آن یک ماتریس ۲×2 بیرون می اید.
قرینه یک ماتریس: اگر A یک ماتریس m*n باشد، قرینه A ماتریسی است از همان مرتبه که با نماد –A نشان می دهند و اگر     در این صورت بنا به تعریف
مثال: قرینه ماتریس    عبارت است از    و ملاحظه می شود که
خواص جمع ماتریس ها
الف) جمع ماتریسها خاصیت شرکت پذیری دراد
اثبات: فرض کنید    و    و    سه ماتریس هم مرتبه دلخواه باشند، نشان می دهیم
(A+B)+C=A+(B+C)
قبل از اثبات لازم است معنی عبارات (A+B)+C و A+(B+C) را بدانیم. در این مورد از تعبیر عمل جمع به مثابه عمل یک ماشین کمک می گیریم. از آنجا که ماشین جمع دو ورودی دارد نمی توان یکباره سه ماتریس را با هم جمع کرد، از این رو برای جمع سه   ماتریس A و B و C می توان ابتدا A و B را به ماشین داده و A+B را به دست آورد. سپس A+B و C را به ماشین می دهیم تا (A+B)+Cبه دست آید.
عبارت A+(B+C) به این معناست که نخست B و C را وارد ماشین کرده ایم و B+C را به دست آورده ایم و سپس (B+C)+A را بیرون می دهد.
حال می خواهیم نشان دهیم که در هر صورت ماتریس های بدست آمده مساویند برای این کار قرار می دهیم
درایه سطر I ام ماتریس =D+C درایه سطر I ام ستون j ام ماتریس (A+B)+C
ب) ماتریس صفر عضو بی اثر مجموعه ماتریس ها نسبت به عمل جمع است.
اثبات: فرض کنید     یک ماتریس دلخواه باشد، نشان می دهیم.
که در آن ماتریس صفر هم مرتبه با A است.
اثبات مشابه اثبات فوق است.
ج) هر ماتریس نسبت به عمل جمع دارای متقابل است.
دیدیم که قریبنه هر ماتریس A=[aij]، ماتریسی هم مرتبه با آن به صورت –A[-aij] است. در واقع –A متقابل A نسبت به عمل جمع است، زیرا قبلاً نشان دادیم

که در آن ماتریس صفر هم مرتبه با A است.
د) جمع ماتریس ها دارای خاصیت جابه جایی است.
یعنی اگر A و B دو ماتریس دلخواه هم مرتبه باشند، داریم    A+B=B+A
اثبات:
تعریف ماتریس ها: فرض کنید A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند، A-B به صورت زیر تعریف می شود
A-B=A+(-B)
از تعریف فوق نتیجه می گیریم برای اینکه با ماشین جمع، A-B را به دست آوریم، نخست ماشینی با یک ورودی و یک خروجی می سازیم تا هر ماتریسی به آن دهیم آن ماتریس را قرینه کند. حال با دادن ماتریس B به این ماشین، -B از آن خارج می شود.
سپس، A و –B را به ماشین جمع می دهیم تا A+(-B) یعنی A-B را بیرون دهد.
مقایسه خواص جمع ماتریس ها با خواص جمع اعداد حقیقی:
اگر به خواص ماتریس ها توجه کنیم ملاحظه می کنیم که این خواص همانند خواص جمع اعداد حقیقی است، حال می خواهیم ببینیم کدامیکی از خواص دیگر مجموعه اعداد حقیقی با عمل جمع در مجموعه ماتریس ها با عمل جمع برقرار است. می دانیم برای حل معادله a+x=b در مجموعه اعداد حقیقی باید به طریقی a را از طرف اول معادله حذف کرد. بنابراین، طرفین معادله را با –a جمع می کنیم، در اینصورت:
(-a)+ (a+x)=-a+b
با استفاده از خاصیت جابجایی و شرکت پذیری جمع داریم:
(-a+a) +x=b-a)
در نتیجه +x=b-a0 یعنی x=b-a0 این شیوه را می توان برای حل معادله A+X=B در مجموعه ی ماتریس ها نیز به کار برد و گزاره زیر را به دست آورد.
گزاره: اگر A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند، در این صورت معادله A+X=B دارای جواب منحصر به فرد X=A-B است.
یکی دیگر از خواص مجموعه اعداد حقیق با عمل جمع، قانون حذف است. یعنی اگر a+x=a+y در این صورت می توان نتیجه گرفت x=y این خاصیت نیز در مورد ماتریس ها با عمل جمع وجود دارد.
قانون حذف در جمع ماتریس ها برقرار است
اثبات: روش اول، فرض کنید A و B و C سه ماتریس هم مرتبه باشند، نشان می دهیم
A+B=A+C B=C
طرفین تساوی A+B=A+C را با –A جمع می کنیم با توجه با خاصیت شرکت پذیری و خاصیت ماتریس صفر نتیجه می شود B=C
روش دوم: چون A+B=A+C پس
درایه iام ستون jام =A+C درایه سطر iام ستون jام A+B
تذکر: برای اثبات قانون حرف دو روش مختلف ارائه دادیم. در روش اول، از خواص جمع ماتریسها یعنی شرکت پذیری، عضو بی اثر و… استفاده کردیم، یعنی همان روشی که برای اعداد حقیقی می توان به کار برد. اما در روش دوم ویژگی های ماتریس نقش اصلی را ایفا می کند. در واقع در مورد روش اول برای ما مهم نیست A و B و C ماتریس هستند یا عدد حقیقی و یا هر چیز دیگر، در مورد هر دسته ای از اشیا که دارای خواص جمع ماتریس ها باشند، می توانیم این شیوه را به کار ببریم و این همان رسالت جبر مدرن است که با اصل موضوعی کردن، قضایای مشابه را به یکباره ثابت می کند. زیرا شیوه و روش اثبات قضیه در هر جایی که این اصول صدق می کنند، معتبر است.
ضرب یک عدد (اسکالر) در ماتریس
تعریف: فرض کنید    ماتریسی از مرتبه m*n و r یک عدد حقیقی باشد. از ضرب عدد حقیقی r در A ماتریسی به دست می آید که آن را به صورت rA نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود.
بنابراین (درایه سطر iام ستون jام ماتریس =r.(A درایه سطر iام ستون j ام ماتریس (rA)
مثال: اگر     در این صورت
خواص ضرب عدد در ماتریس:
۱)فرض کنید r و s دو عدد حقیقی و A یک ماتریس m*n باشد در این صورت داریم
r(sA)=(rs)A
۲)اگر r و s دو عدد حقیقی و A یک ماتریس m*n باشد در این صورت داریم
(r+s)A=rA+sA
۳)اگر r یک عدد حقیقی و A و B دو ماتریس m*nباشند در این صورت
r(A+B)=rA+rB
۴)اگر r یک عدد حقیقی ناصفر و A وB دو ماتریس دلخواه m*n باشند در این صورت
rA=rB A=B
ضرب ماتریس ها و خواص آن
ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی
تعریف: ماتریس سطری        و ماتریس ستونی
را در نظر می گیریم حاصل ضرب A در B به صورت زیر تعریف می شود.
با توجه به تعریف فوق حاصل ضرب یک ماتریس سطری در ماتریس ستونی یک عدد حقیقی است که برای به دست آوردن آن به صورت زیر عمل می کنیم.
مثال:
ضرب ماتریس ها در حالت کلی:
تعریف: اگر        و    دو ماتریس مخصوص باشند در این صورت حاصل ضرب AB ماتریسی است m*p که اگر آن را با C نشان دهیم داریم
ملاحظاتی در مورد ضرب دو ماتریس
۱-ضرب ماتریسی AB در صورتی تعریف شده است که تعداد ستون های ماتریس اولی، یعنی A با تعداد سطرهای ماتریس دومی، یعنی B، برابر باشد. در این صورت گویند ماتریس A در ماتریس B قابل ضرب است.
۲-اگر AB=C برای به دست آوردن هر یک از درایه های ماتریس C به نمحلی که درایه واقع است توجه می کنیم. مثلاً برای بدست آوردن ۱۲C سطر اول A را در ستون دوم B، طبق ضرب یک ماتریس سطری در ماتریس ستونی ضرب می کنیم، و به همین ترتیب
ستون پنجم ماتریس B× سطر سوم ماتریس A = 35C
اگر ۱R و ۲R و ۳R به ترتیب نمایشگر سطر اول و سطر دوم و سوم ماتریس ۲×3A و ۱C و ۲C و ۳C نمایشگر ستون اول ، دوم و سوم ماتریس ۳×2B باشند. در این صورت AB ماتریسی ۲×2 به صورت زیر است.
که در آن، برای مثال، ۲C1R حاصل ضرب سطر اول A در ستون دوم B را نشان می دهد.
ماتریس واحد (همانی)
ماتریس واحد، ماتریس مربعی است که تمام درایه های قطر اصلی آن ۱ و سایر درایه های صفر است.برای مثال ماتریس واحد ۲×2 که با نماد ۲I نمایش می دهیم به عبارت است از
به همین ترتیب ماتریس واحد ۳×3 عبارت است از
تذکر: ماتریس I را از اینرو، واحد گویند که رفتاری شبیه عدد ۱ در ضرب اعداد دارد و چون روی هر ماتریسی (قابل ضرب با آن) اثر کند همان ماتریس را می دهد بنابراین آن را ماتریس همانی نیز می گویند.
گزاره: اگر در ماتریس A سطر دوم صفر باشد و B ماتریسی باشد که AB تعریف شده باشد، در این صورت سطر دوم AB نیز صفر است.
اثبات: قرار می دهیم AB=C درایه های سطر دوم AB از ضرب سطر دوم A در ستون های B به دست می آید. فرض کنید Cijدرایه دلخواهی از سطر دوم AB باشد، بنابراین
به طور کلی، اگر در ماتریس A سطر iام صفر باشد در این صورت سطر I ام ماتریس AB صفر است. به طریق مشابه می توان ثابت کرد.
گزاره: اگر در ماتریس B ستون jام صفر باشد و A ماتریسی باشد که AB تعریف شده باشد، در این صورت ستون jام ماتریس AB صفر است.
بررسی خاصیت جابه جایی در ضرب ماتریسها:
دو ماتریس A و B مفروضند. AB وقتی تعریف شده است که تعداد ستونهای A با تعداد سطرهای B مساوی باشد. مثلاً داشته باشیم    و    اگر m و p مساوی نباشد، BA تعریف نشده است. برای اینکه BA تعریف شده باشد لازم است که p=m، یعنی B ماتریس n*m باشد. در اینصورت AB از مرتبه m*m و BA ماتریسی است از مرتبه n*m. حال اگر بخواهیم AB و BA هر دو موجود و هم مرتبه باشند می بایست A و B هر دو ماتریس های مربع و هم مرتبه باشند. اما در این حالت نیز ممکن است BA و AB مساوی نباشد. به مثال زیر توجه کنید.
مثال: اگر            در اینصورت
ملاحظه می شود که AB و BA مساوی نیستند. مثال فوق بیانگر آن است که ضرب ماتریس ها دارای خاصیت جابه جایی نیست. حال به مثال زیر توجه کنید.
مثال: اگر        در این صورت
یعنی AB=BA
ماتریس های تعویض پذیر:
تعریف: اگر A و B دو ماتریس مربع باشند به طوری که AB=BA در این صورت A و B را تعویض پذیر گوییم و یا گوییم A و B با یکدیگر جابجا می شوند.
مثال: دو ماتریس    و    تعویض پذیرند. زیرا
یک خاصیت غیر منتظره در ماتریسها:
می دانیم که مجموعه اعداد حقیقی دارای این خاصیت است که : «حاصلضرب دو عدد حقیقی ناصفر، عددی حقیقی ناصفر است.»
اما در مورد ماتریسها چنین نیست. به مثال زیر توجه کنید. دو ماتریس غیر صفر را در نظر بگیرید. داریم:
ملاحظه می شود که ماتریس هایی مانند A و B وجود دارند به طوری که    و    ولی این نوع ماتریس ها را مقسوم علیه صفر می گویند.
تعریف: فرض کنید A یک ماتریس مربع باشد. اگر ماتریس ناصفری مانند B بتوان یافت به طوری     یا در این صورت A را مقسوم علیه صفر گویند.
مثال: ماتریس     مقسوم علیه صفر است زیرا
توانهای طبیعی یک ماتریس مربع:
فرض کنید A یک ماتریس m*n باشد. برای آنکه AA وجود داشته باشد می بایست m=n ، یعنی در صورتی AA تعریف شده است که A ماتریسی مربع باشد. در این صورت AA را با ۲A نمایش می دهند.
تعریف: اگر A یک ماتریس مربع باشد، در این صورت توان های طبیعی A به صورت زیر تعریف می شوند
=A1A و =AA2A و ۲=AA3A وبا استقرا
An+1 = AAn
در صورتی که A یک ماتریس مربع مرتبه n باشد توان صفر A نیز به صورت زیر تعریف می وشد.
که در آن In ماتریس واحد مرتبه n است.
ماتریس های بالا مثلثی
ماتریس مربعی     را بال مثلثی می نامند هرگاه
Aij    I>j      aij=0
یعنی، در یک ماتریس بالا مثلثی کلیه درایه های واقع در پایین قطر اصلی صفرند. برای مثال یک ماتریس بالا مثلثی ۳×3 در حالت کلی به صورت زیر است
این ماتریس ها را به صورت زیر نشان می دهند
همانطور که از نامگذاری این نوع ماتریس ها معلوم است، در هر ماتریس بالا مثلثی، درایه های واقع بر قطر اصلی و بالای قطر اولی مشخص کننده ماتریس هستند. زیرا تمام درایه های پایین قطر اصلی صفرند.
مثال: ماتریس مربع و صفر ماتریس واحد، بالا مثلث اند.
ماتریس های پایین مثلثی
ماتریس مربع A=[aij] را پایین مثلثی نامند هرگاه
یعنی،  در یک ماتریس پایین مثلثی، همه درایه های واقع در بالای قطر اصلی، صفرند.
مثال: ماتریس روبه رو یک ماتریس
پایین مثلثی ۳×3 است. گاهی برای سهولت این ماتریس را به صورت زیر هم نشان می دهند.
نماد O در بالای قطر اصلی به معنای آن است که تمام درایه های بالای قطر اصلی صفرند. نامگذاری این نوع ماتریس ها همانند قبل، بر این اساس استوار است که در ماتریس های پایین مثلثی درایه های واقع بر قطر اصلی ، مشخص کننده ماتریس هتسند.
مثال: ماتریس مربع صفر و ماتریس واحد پایین مثلثی نیز هستند.
ماتریس های قطری:
ماتریع مربع D=[dij] را قطری می نامند، هر گاه هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی باشد، یعنی در یک ماتریس قطری، درایه های پایین و بالای قطر اصلی همگی صفرند، به عبارت دیگر، D قری است هرگاه
بنابراین، ماتریس قطری D به صورت زیر نوشته می شود.
برای سهولت این ماتریس را به صورت زیر هم نشان می دهند.
همانطور که از نام این نوع ماتریس ها بر می آید، در یک ماتریس قطری فقط درایه های واقع بر قطر اصلی مشخص کننده ماتریس اند، برای همین ماتریس قطری را به صورت
diaj(d11 , d12 , dnn)
نیز نشان می دهند.
مثال: ماتریس    قطری است که به صورت(۲- و ۳ و۲) D=diag  نیز می توانیم آن را بنویسیم.
ماتریس واحد (همانی)

ماتریس واحد، ماتریس اسکالری (آن دسته از ماتریس های قطری را که همه درایه های واقع بر قطر اصلی آنها مساویند، ماتریس اسکالر نامند) است که درایه های واقع بر قطر اصلی آن همگی مساوی ۱ است. ماتریس واحد مرتبه n را با In نشان می دهند.
مثال: ماتریس واحد ۳×3 عبارت است از
وقتی مرتبه ماتریس واحد معلوم باشد و یا اهمیت نداشته باشد، ماتریس واحد را با I نشان می دهند و برای هر ماتریس مرتبه n مانند A داریم        InA=AIn=A
یعنی، ماتریس واحد، عضو بی اثر مجموعه ماتریس های مربع نسبت به عمل ضرب است. برای همینن ماتریس واحد رفتاری شبیه عدد یک در ضرب اعداد دارد.
و به سادگی دیده می شود که برای هر عدد طبیعی K داریم:        IK=I
مثال: هر ماتریس اسکالر مضربی از ماتریس واحد است. یعنی؛
ماتریس های خود توان
ماتریس مربع A را خودتوان می نامند هرگاه =A2A
 مثال: ماتریس    خودتوان است زیرا؛
گزاره: اگر A خودتوان باشد، در این صورت برای هر عدد طبیعی n، داریم:
An=A
ماتریس های پوچ توان:
ماتریس مربع A را پوچ توان نامند هرگاه به ازای یک عدد طبیعی، مانند n، داشته باشیم
بدیهی است که اگر    به ازای هر عدد طبیعی بزرگتر از n مانند m داریم
کوچکترین این n ها را اندیس پوچ توانی A گویند.
زیرماتریس ها وافراز کردن
یک زیر ماتریس یک ماتریس مفروض A ماتریسی است که از حذف تعدادی از سطرها یا ستون های ماتریس A بدست آمده باشد، برای مثال اگر
در این صورت هر یک از ماتریسهای زیر یک زیر ماتریس A می باشند.
زیر ماتریس        از حذف سطرهای اول و دوم و ستونهای اول و سوم، و زیر ماتریس ]۴   3  2 [ از حذف سطرهای دوم و سوم و چهارم و ستون اول به دست می آیند.
هرگاه با ترسیم خطوط افقی و عمودی بین سطرها و ستونهای یک ماتریس آن را تقسیم بندی کنیم، گوییم ماتریس را افراز کرده ایم. با تغییر این خطوط افرازهای متفاوتی از یک ماتریس ساخته می شود. مثلاً
دو افراز مختلف از ماتریس A می باشند.
وقتی ماتریس ها از ظرفیت حافظه کامپیوتر بزرگترند، از ماتریس های افراز شده استفاده فراوان می کنند. مثلاً در ضرب دو ماتریس افراز شده، می توان ماتریس ها را روی دیسک نگه داشت. و فقط زیر ماتریس هایی را که در تشکیل حاصل ضربهای زیر ماتریسی لازمند در حافظه آورد. معلوم است که افراز باید به قسمی صورت گیرد که حاصل ضرب ماتریسهای نظیر قابل تعریف باشد.
فرض کنید A و B ماتریسیهایی باشند که AB تعریف شده باشد حال اگر A و B را به صورت
افزار کرده باشیم در این صورت به آسانی ثابت می شودکه برای محاسبه ماتریس AB می توان C و D و… را شبیه درایه ها تصور کرد و عمل ضرب را انجام داد، بنابراین
البته، این مشروط به آن است که افراز به گونه ای باشد که حاصل ضرب های فوق تعریف شده باشد.
ترانهاده یک ماتریس
تعریف: فرض کنید A یک ماتریس m*n باشد، ترانهاده A، ماتریسی است n*m که سطر اول آن ماتریس A سطر دوم آن ستون دوم A و… به طور کلی، سطر iام ترانهاده A ستون iام ماتریس A می باشد. ترانهاده A را با نمادها َA و At یا tA نمایش می دهند.
مثال: فرض کنید
در این صورت ترانهاده A، یعنی َA عبارت است از
ملاحظه می شود که درایه سطر اول ستون دوم ماتریس A مساوی ۵ است، یعنی ۵=۱۲a از طرف دیگر اگر درایه های َA را با ijَa نشان دهیم درایه سطر دوم ستون اول َA نیز مساوی ۵ است.
یعنی۵=۱۲a بنابراین        12a= 21َa
به طریق مشابه        13a= 31َa        32a= 23َa
در واقع اگر    در این صورت ترانهاده A عبارت است از    که در آن
aij=aij
بنابراین درایه سطر jام ستون iتک A= درایه سطر iام ستون jام َA
مثال: ترانهاده یک ماتریس بالا مثلثی ، یک ماتریس پایین مثلثی است و بر عکس.
مثال: ترانهاده ماتریس واحد مرتبه n خود ماتریس واحد مرتبه n است، یعنی I=َI
ویژگی های ترانهاده
قضیه: اگر A یک ماتریس m*n باشد در این صورت A=َ(َ(A
قضیه: اگر A و B دو ماتریس m*n باشند، در این صورت َB +َA = َ((A+B
قضیه: اگر A یک ماتریس m*n و یک عدد حقیقی باشد، در این صورت
ماتریس متقارن
تعریف: ماتریس مربع A را متقارن می نامند، هرگاه A=َA
مثال: ماتریس    متقارن است
زیرا
از تساوی A=َA نتجیه می شود        aij=ijَa
و در نتیجه         aij=aji
 بنابراین در ماتریس های متقارن درایه هایی که موضع آنها نسبت به قطر اصلی قرینه اند با هم مساویند.
مثال: هر ماتریس قطری متقارن استن در نتیجه ماتریسهای اسکالر و ماتریس واحد و ماتریس صفر متقارن هستند.
قضیه: اگر A و B دو ماتریس متقارن هم مرتبه باشند، در این صورت A+B نیز متقارن است.
اثبات: چون A و B متقارن است پس A=َA  و B=َB بنابراین
َB+َA = َ((A+B
قضیه: اگر A متقارن و یک عدد حقیقی باشد، در این صورت نیز متقارن است
اثبات:
قضیه: اگر A و B  دو ماتریس متقارن و تعویض پذیر باشند، در این صورت AB نیز متقارن است.
اثبات:
دتریمنال یک ماتریس:
به هر ماتریس مربع، عددی نسبت داده می شود که دترمینال آن ماتریس نامیده می شود. دترمینان یک ماتریس مانند مشتق یک تابع، اطلاعاتی در مورد آن ماتریس در اختیار می گذارد. برای مثال با استفاده از دترمینان می توان دریافت که یک ماتریس وارون دارد یا خیر؟ و اینکه در حل دستگاههای n  معادله n مجهولی می توان از دترمینان استفاده کرد.
دترمینان ماتریس های ۱×۱
فرض کنید    یک ماتریس    باشد، دترمینان این ماتریس که با نماد det[a] نشان داده می شود عبارت است از        det[a]=a
دترمینان ماتریسهای ۲×2
ماتریس    را در نظر می گیریم دترمینان A که با هر یک از نمادهای نشان می دهند، به صورت زیر تعریف می شود.
مثال:
برای تعریف دترمینان یک ماتریس n*n لازم است قبل از آن مفاهیم کهاد و همسازه را بدانیم.
کهاد (مینور)
تعریف: فرض کنید A=[aij] ماتریسی n*n باشد. ماتریسی را که از حذف سطر iام ستون jام ماتریس A بدست می آید با Mij نشان می دهیم. دترمینان Mij یعنی را کهاد یا مینور aij می نامند.
تعریف: فرض کنید A=[aij] ماتریسی n*n باشد، همسازه     از زاویه aij به صورت زیر تعریف می شود.
تذکر: i+j (1-) در هر حالت مقادیر ۱ یا ۱- را می گیرد، در واقع
مثال: فرض کنید
در این صورت ماتریس حاصل از حذف سطر اول ستون دوم =A 12M
تعریف دتریمنان ماتریس های n*n
تعریف: فرض کنید A[aij] ماتریسی n*n باشد (n>2) در این صورت دترمینان A به صورت زیر تعریف می شود.
با کمی دقت در فرمول بالا مشاهده می شودکه در محاسبه دترمینان A فقط از درایه های سطر اول و کهاد آنها استفاده شده است. این فرمول را در مورد هر سطر دلخواه دیگر هم می توانیم بنویسیم. مثلاً فرمول بالا برای سطر iام به شکل زیر است
ثابت می شود که مقدار بالا بستگی به iندارد و همان مقدار به دست می آید. فرمول بالا را بسط دترمینان نسبت به سطر iام می نامند  و در محاسبه دترمینان نسبت به هر سطری که بسط داده شود، حاصل همواره یکی است.
همچنین در فرمول بسط دترمینان به جای استفاده از سطرهای ماتریس می توانیم از ستون های ماتریس استفاده کنیم و به فرمول زیر که بسط دترمینان نسبت به ستون jام نام دارد، برسیم.
در این مورد نیز ثابت می شودکه مقدار بالا بستگی به j ندارد و همان است.
مثال: مطلوب است محاسبه دترمینان A که A به صورت زیر است.
حل: دترمینان را نسبت به سطر اول بسط می دهیم.
وارون یک ماتریس
برای حل معادلات به صورت ax=b در مجموعه اعداد حقیقی، باید کاری کرد که ضریب x برابر ۱ شود. برای این کار باید طرفین را در وارون a یعنی    ضرب کرد در نتیجه
البته، روشن است که این معادله را وقتی می توان به این صورت حل کرد که نظیر این معادلات در ماتریس ها نیز مطرح است، یعنی معادلات به صورت AX=C
که در آن A و C ماتریسهای مربع هستند، همانند اعداد راحت ترین کار برای حل این نوع معادلات از میان برداشتن A است، بعبارت دیگر طرفین معادله را می بایست از سمت چپ در ماتریسی ضرب کنیم که A را خنثی کند. منظور از خنثی کردن A آن است که ماتریسی مانند B بدست آوریم به طوری که BA=I در این صورت B را وارون A و یا به عبارت دقیقتر وارون چپ A گویند.
تعریف: فرض کنید A ماتریس n*n باشد. اگر ماتریسی مانند B وجود داشته باشد، به طوری که در آن I ماتریس واحد مرتبه n است، ماتریس B را یک وارون A گویند. در این صورت می گویند A وارون پذیر یا غیر منفرد (ناتکین) است
مثال: نشان دهید ماتریس وارون پذیر است.
حل: با توجه به تعریف باید ماتریسی ۲×2 مانند B ارائه دهیم به طوری که
AB=BA=I
برای این کار فرض کنید
بنابراین
از حل دستگاه فوق نتیجه می شود که
بنابراین
به سادگی می توان دید که
بنابراین ماتریس    وارون    است در نتیجه A وارون پذیر است.
قضیه: وارون یک ماتریس در صورت وجود منحصر به فرد است.
اثبات: فرض کنید A دارای دو وارون َA و ًA باشد، نشان می دهیمَA = ًA
I ماتریس واحد است        َIA=ًA
ًA A)َ=(A
(ً(AAَA=
IَA=
َA
قرارداد: اگر A یک ماتریس مربع وارون پذیر باشد، در این صورت وارون A را با ۱- A نشان می دهند. بنابراین
A=I1-A= 1-AA
قضیه: فرض کنید
و در این صورت A وارون پذیر است و
اثبات: در معادله صدق می کند
یعنی
پس A وارون پذیر است.