اقلیدس - پایگاه دانلود رایگان کتاب | دانلود کتاب

در طی بیش از دو هزار سال، قدری آشنایی با ریاضیات، از معلومات ضروری هر شخص با فرهنگی به شمار می آمده است. امروز موقعیت سنتی ریاضیات نیز در این امر مسئول اند تدریس ریاضی گاهی به سطح آموزشی بی محتوا برای حل مسأله تنزل کرده است. آموزشی که ممکن است توانایی شخص را در عملیات صوری افزایش دهد ولی او را به فهم واقعی ریاضیات یااستقلال فکری بیشتر رهنمون نمی سازد. تحقیقات ریاضی گرایشی افراطی به تخصصی شدن و تجرید یافته است.
کاربردهای ریاضیات و روابط آن با رشته های دیگر مورد غفلت قرار گرفته اند. اما این شرایط به هیچ وجه توجیه کننده سیاست کاهش بودجه برای ریاضیات نیست. بر عکس، کسانی که از ارزش رشته های نظری آگاه اند باید متقابلاً واکنش نشان دهنده و خواهند دارد. معلمان، محصلان و مردم تحصیلکرده  خواستار اصلاحات سازنده در این زمینه هستند نه تسلیم با کمترین مقاومت. 
هدف فهم واقعی ریاضیات به عنوان اندک موارد یکپارچه و پایه ای برای اندیشه و علمی است. انتشار کتابهای عالی در زمبنه زندگینامه و تاریخ و برخی نوشته های مهیج عامه فهم علاقه خفته مردم را بیدار ساخته اند. اما دانش را نمی توان فقط از راه غیر مستقیم به دست آورد. ریاضیات را نیم توان از طریق نوشته های سرگرم کننده و آسان به مردم فهماند. همان طور که اموختن موسیقی به کسانی که هرگز به طور عمیق به موسیقی گوش نکرده اند از طریق بهترین شرح و توصیفهای ژورنالیستی میسر نیست.
تماس عملی با محتوای ریاضیات زنده ضروری است. با این حال، از ریزه کاریهای فنی و مسیرهای فرعی باید اجتناب کرد. در عرصه ریاضیات باید همان قدر که از اتکا به مطالب پیش پا افتاده احتراز  می شود از جرم اندیشی خطرناکی که روشن سازی انگیزه یا هدف را مردود می شمارد و مانعی نا معقول در برابر تلاش صادقانه برای فهم موضوع است پرهیز گردد.
می توان از مبادی اولیه شروع به حرکت کرد و در مسیری مستقیم به سوی مواضعی مرتفع پیش رفت که درآنجا بتوان بر جوهره و نیروهای محرکه ریاضیات نوین اشراف یافت.
ریاضیات به ذهن نظم می بخشد و آدمی را به تفکر منطقی عادت می دهد و بی جهت نیست که می گویند: ریاضیات ورزش ذهن است. ریاضیات روش درست فکر کردن و استدلال است و علم ریاضیات بطور عمده متکی بر استدلال و استنتاج منطقی است. ریاضیات منحصر به شمردن و حساب کردن یا رسم  اشکال نیست. بلکه تمام مسائل روزمره که به کمک عبارتها و جمله ها بیان شده اند، الگویی از ریاضی در خود نهفته دارند بنابراین انسان امروزی در دنیای عددها زندگی می کنند. برای دادوستد، تجارتها، اندازه گیری و … از ریاضیات استفاده می کنند.
و خلاصه همه مردم در مشاغل گوناگون به نحوی از ریاضیات بهره می گیرند. ریاضیات در کشور ما سابقه طولانی دارد.
ریاضیدانان ایرانی با نام و با ارمی همچون: خیام، خوارزمی،  طوسی و بدزجانی، در انواع مختلف ریاضی از جمله: حساب – هندسه- جبر و مثلثات  و نجوم و آثار تحقیقات ابداعی را از خود به جای گذاشته اند.

برگی از خاطرات محقق و ریاضیدان جانباز جمشید واحدی:
فرزندان، بر خلاف تصور کسانی که ریشه ریاضی را از ریاضت به معنی سختی کشیدن می دانند بدانید که ریاضی ازریشه «روض» به وعنای ورزش ذهنی و نوعی لذت بردن است.
هنگامی که به دلیل قطع دست چپم در بیمارستان بستری بودم یکی از دوستانم به عیادتم امد و پرسید: آیا خداوند قادر است موجودی را خلق کند  که نتواند ان را از بین ببرد؟  به او یک دفتر ۱۰۰ برگ و یک نقاله دادم و از او خواستم تافردای آن روز برایم یک «مثلث قائم الزاویه متساوی اللاضلاع » رسم کند. ایشان فردای آن روز  نزدم آمد و گفت غیر ممکن است چنین مثلثی بتوان رسم کرد زیرا اگر زاویه ۹۰ درجه داشته باشد دیگر سه ضلع آن مساوی نخواهد بود و اگر سه ضلع آن مساوی باشد هر کدام از زوایا ۶۰ درجه خواهد شد و جمع این دو یعنی هم مثلث قائم الزاویه باشد و هم متساوی الاضلاع محال است.
به او گفتم: آیا شما چیزی غیر از این از من سوال کردید ، در سوال شما توانستن و نتوانستن هر دو با هم هستند و این جمع ضدین محال است. سپس  به ایشان گفتم در کف دست راست ما عدد ۱۸ و در دست چپ ما عدد ۸۱ تغریباً به وضوح آشکار است و اختلاف آنها ۶۳=۱۸-۸۱  خواهد بود که سن وفات حضرت رسول (ص) می باشد و هم می دانیم که پیامبر در ۴۰ سالگی به پیامبری مبعوث شد وقرآن طی ۲۳ سال بر ایشان نازل گردید. حال به سوره توحید توجه کن. همه حرکتهای حروف در بالا قرار دارند  ولی در کلمه (یلِد)در حرف (ل) حرکت در پایین قرار دارد. تعداد حروف سمت چپ حرف(ل) ۲۳ عدد و تعداد حروف سمت راست ان نیز ۲۳ عدد می باشد.
درقرآن آنجا که خداوند درباره افراق سخن می فرماید از کلمات ( کل فی فلک) استفاده شده است. که اگر حرف آنها را روی محیط یک دایره قرار دهیم از دو طرف ( کل فی فلک) خوانده می شود. آیا زیبا تر این می توان به مدار و دوران اشاره کرد و میبینید حتی خداوند هم ریاضیات را دوست دارد. ان را در کلامش به کار برده است.

دانستنیهای شیرین ریاضی:
آن وقتها من هم مثل بعضی ها از ریاضی متنفر بودم و ریاضی دانها را آدمهایی گوشه نشین و تنهایی می دانستم که چون حوصله فعالیت ندارند با عینک ته استکانیشان دائم سرشان در کتاب است تا با اعداد و ارقامی بی جان قانونی کشف کنند و قضیه ای بسازند.تا یک گرفتاری به گرفتاریهای ما دانش اموزان که مجبوریم قضیه های ساخته و پرداخته ایشان را حفظ کنیم اضافه کنند شاید ریشه این تنفر به سالهای قبل از دبستان برمی گشته که برادر بزرگم از سر لطف جمع و تفریق اعداد را به من یاد داد و من سالهای اول دبستان مجبور بودم در کلاسهای خشک و بی روح و خسته کننده ریاضی که هیچ چیز به جز جمع و تفریق دران مطرح نمی شد بنشینم بدون انکه مطلب جدیدی یاد بگیرم.
آنچه از آن سالها در خاطر دارم کلاسهای تاریک بود که نمی دانم چون درس ریاضی در ساعت اول تشکیل می شد هوا کاملاً روشن نشده بود یا هوا مثل دل من ابری بود. شاید هم هیچ کدام نبود . بله این تنفر من بود که همیشه کلاسهای ریاضی را تاریک می کرد. انگار هیچ کس ابتکاری، سوال نوی و حرف تازه ای نداشت.
اصلاً انگار ریاضیات جمع بود و تفریق. پرتقال فروش بود که گاهی جایش را با فروشنده کتاب و دفتر و مداد عوض می کرد.

کسی که هندسه نمی‎داند از این در داخل نشود،
کتیبه سر در روی آکادمی افلاطون
بیشتر مردم نمی‎دانند که در حدود یک سده و نیم پیش انقلابی در زمینه هندسه روی داد که از لحاظ علمی به عمق انقلاب کوپرنیکی در نجوم، و از جنبه نتایج فسلفی به اهمیت نگره تکامل داروین بود. کاکستر ، هندسه‎دان کانادایی می‎نویسد: «تأثیر کشف هندسه هذلولوی در تصوری که از حقیقت و واقعیت داریم آنچنان عمیق بوده است که بدشواری می‎توانیم تصور کنیم که امکان وجود هندسه‎ای غیر از هندسه اقلیدسی تا چه اندازه در سال ۱۸۲۰ تکان دهنده جلوه‎ کرده است.» اما همه ما امورزه نام هندسه فضا – زمان نگره نسبیت اینشتاین را شنیده‎ایم. «در واقع، هندسته پیوستار  فضا – زمان به حدی به هندسه تا اقلیدسی وابسته است که آگاهی از این هندسه‎ها شرط لازم برای درک کامل جهانشناسی نسبیت است.»
هندسه اقلیدسی، همان هندسه‎ای که شما در دبیرستان خوانده‎اید، هندسه‎ای است که بیشتر برای تجسم جهان مادی به کار می‎بریم. این هندسه از کتابی به نام اصول  به دست ما رسیده که توسط اقلیدس، ریاضیدان یونانی، در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است. تصوری که ما براساس این هندسه از جهان مادی پیدا کرده‎ایم تا حد زیادی به توسط آیزک نیوتن در اواخر سده هفدهم ترسیم شده است.
هندسه‎هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعه عمیقتر موضوع توازی در هندسه اقلیدسی پیدا شده‎اند. دو نیمخط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زیر در نظر بگیرید:

در هندسه اقلیدسی فاصله (عمودی) بین دو نیمخط هنگامی که به سمت راست حرکت می‎کنیم همواره مساوی فاصله P تا Q باقی می‎ماند؛ ولی در اوایل سده نوزدهم دو هندسه دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسه هذلولوی (از کلمه یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصله میان نیمخطها افزایش می‎یابد، دیگری هندسه بیضوی  (از کلمه یونانی الیپن «کوتاه شدن») که در آن این فاصله رفته رفته کم می‎‏شود و سرانجام نیمخطها همدیگر را می‎برند. این هندسه‎های نااقلیدسی بعدها به توسط ک.ف. گاوس و گ.ف.ب. ریمان در قالب هندسه کلیتری بسط داده شدند (همین هندسه کلیتر است که در نگره نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است ).
در این کتاب ما به هندسه‎های هذلولوی و اقلیدسی خواهیم پرداخت. هندسه هذلولوی تنها به تغییر یکی از اصول اقلیدس نیاز دارد، و می‎تواند به همان آسانی هندسه دبیرستانی فهیمده شود. از سوی دیگر، هندسه بیضوی شامل مفهوم توپولوژیک تازه «سوناپذیری» است، زیرا همه نقاط صفحه بیضوی که بر روی یک خط نیستند در یک طرف آن خط قرار داردند. از این هندسه نمی‎شود به همان سهولت هندسه اقلیدسی صبحت کرد، زیرا به بسط قبلی هندسه تصویری نیاز دارد. بنابراین بحث در باره هندسه بیضوی را در یک ضمیمه کوتاهی انحام داده‎ام. (اشتباه نشود! منظو ما این نیست که ارزش هندسه بیضوی کمتر از ارزش هندسه‌هذلولوی است.) فهم هندسه ریمانی مستلزم درک کامل محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، و لذا بیرون از ظرفیت این کتاب است (در ضمیمه «ب» مختصری راجع به آن بحض شده است).
فصل اول با تاریخچه مختصری در باب هندسه در دوران قدیم آغاز می‎شود، و به بیان اهمیت بسط روش بنداشتی  توسط یونانیان ادامه می‎یابد. همچنین پنج اصل موضوع اقلیدس معرفی و به تلاش لژاندر برای اثبات اصل موضوع پنجم ختم می‎شود. برای پیدا کردن نقص برهان لژاندر (و برهانهای دیگر)، لازم است که مبانی هندسه دو باره دقیقاً مورد بررسی قرار گیرد. ولی، پیش از آنکه بتوانیم اساساً هندسه‎ای بنا کنیم، باید به بعضی از اصول بنیادی منطق آگاهی داشته باشیم. این اصول در فصل دوم به گونه‎ای غیر رسمی دوباره بررسی شده‎اند. در این فصل عناصر مشکله یک برهان دقیق را از نظر می‎گذرانیم و بویژه به روش اثبات نامستقیم یا برهان خلف تکیه می‎کنیم. فصل دوم به مفهوم بسیار مهم الگو  برای یک دستگاه بنداشت ختم می‎شود، که با الگوهای متناهی از بنداشتهای وقوع نقاط و خطوط در هندسه نشان داده شده‎اند.
فصل سوم با بحثی از برخی نقایص در نحوه ارائه هندسه به توسط اقلیدس آغاز شده، و این نقایص با ارائه کامل بنداشتهای داوید هیلبرت (با اندکی تغییر) و نتایج اولیه آنها برطرف شده‎اند. ممکن است هنگام اثبات نتایجی که خودبخود بدیهی به نظر می‎رسند بی‎حوصله شوید. اما، هرگاه بخواهید با اطمینان در فضای نااقلیدسی کشتی برانید باید به این کار اساسی تن درهید.
مطالعه نتایج بنداشتهای هیلبرت، جز اصول نوازی، در فصل چهارم ادامه یافته است.
موضوع این مطالعه هندسه نتاری نامیده شده است. بعضی از قضیه‎های اقلیدس (مثل قضیه زاویه خارجی) را که شما با آنها آشنایی دارید، با روشی غی از روشهایی که به توسط اقلیدس به کار رفته‎اند اثبات خواهیم کرد. این تغییر به علت شکافهای منطقی موجود در استدلالاهای اقلیدس لازم بوده است؛ همچنین برخی قضایا را که اقلیدس نمی‎توانسته است بر آنها واقف باشد (مانند قضیه‌ساکری – لژاندر) ثابت خواهیم کرد.
به اتکای پایه‎های محکمی که در فصول مقدم بر فصل پنجم گذاشته شده‎اند، آمادگی خواهیم داشت که در فصل پنجم چند تلاش مهم را که برای اثبات اصل توازی صورت گرفته‎اند مورد تجزیه و تحلیل قرار دهیم (در تمرینات مجال خواهید داشت که نقایصی را در تلاشهای دیگر پیدا کنید). بر اثر این مطالعات، شیوه تفکر اقلیدسی شما چنان تکان می‎خورد که در فصل ششم می‎توانیم «دنیا شگرف تازه»‎ای را کشف کنیم، دنیایی را که در آن مثلثها مجموع زوایای «نادرست» دارند، مستطیل وجود ندارد، خطوط موازی ممکن است واگرا و یا به طور مجانبی همگرا باشند. در ضمن این کار داستان هیجان‎انگیز تاریخی اکتشاف تقریباً همزمان هندسه هذلولوی توسط گاوس، بویوئی و لوباچفسکی، در اوایل سده نوزدهم، را ورق خواهیم زد.
این هندسه با اینکه ناآشناست، به همان سازگاری هندسه اقلیدسی است. این نکته را در فصل هفتم هنگام بررسی سه الگوی اقلیدسی که در تجسم هندسه هذلولوی نیز ما را یاری می‎کند اثبات خواهیم کرد. الگوهای پوانکاره این برتری را دارند که در آنها زوایا به روش اقلیدسی اندازه گرفته می‎شوند؛ برتری الگوی بلترامی – کلاین در نمایش خطوط توس پاره‎خطهای اقلیدسی است. همچنین در فصل هفتم از مطالبی از هندسه اقلیدسی بحث خواهیم کرد که در کتابهای دبیرستانی ذکری از آنها نشده است.
سرانجام،‌فصل هشتم به طریقی کلی برخی از استلزامهای فلسفی هندسه‎های نااقلیدسی را دربر می‎گیرد. عرضه مطالب تعمداً به گونه‎ای جدلی صورت گرفته است و منظور از مقاله‎های انشایی برانگیختن خواننده و تشویق او به تفکر و مطالعه بیشتر است.
بسیار مهم است که شما همه تمرینات را حل کنید، زیرا که نتایج تازه در ضمن تمرینات بسط داده شده و سپس در فصول بعدی مورد استفاده قرار گرفته‎اند. با حل همه تمرینات، ممکن است شما هم به جایی برسید که از هندسه به اندازه من لذت ببرید.

هندسه اقلیدس
اصل توازی… در دوران کهن حل نهایی مسئله‎ای بود که بایستی ریاضیات یونان را زمانی دراز پیش از اقلیدس به خود مشغول داشته باشد.
هانس فروید نتهال
منشأ هندسه
واژه «ژئومتری» از دو واژه یونانی؛ ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازه‎گیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازه‎گیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سده پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می‎دهد. ولی تمدنهای کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیاد داشته‎اند.
هندسه پیشینیان در واقع گرد‎اوری از روشهای «قاعده سرانگشتی» بود که از راه آزمایش. بررسی شباهتها، حدسها و شهودهای اتفافی، دست یافتن به آنها میسر شده بود. خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند. بابلیهای ۲۰۰۰ تا ۱۶۰۰ سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را ۳ برابر قطرش می‎گرفتند. یعنی  را مساوی ۳ اختیار می‎کردند. این همان مقداری است که ویتروویوس  معمار رومی به آن داده بود و در نوشته‎های چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستانی این مقدار را مقدس می‎شمردند و می‎پنداشتند که کتاب مقدس آن ار تثبیت کرده است (کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیه بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا  برای تبدیل   به ۷/۲۲ به نتیجه نرسیده بود. مصریان سال ۱۸۰۰ پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند  مقداری تقریبی   را چنین می‎گرفته‎‏اند:
 
حدسهای مصریان در پاره‎ای از موارد درست و در پاره‎ای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجسته آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوی دیگر، چنین می‎‏پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز می‎تواند صحیح باشد. هندسه مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی‎هیچ موجبی یا توجیهی.
بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته‎تر بودند. وانگهی، قضیه فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طولهای دو ضلع دیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می‎دانستند. تحقیات اخیر اتونویگه باوئر  تأثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلاً نادانسته بود مکشوف ساخته است.
ولی یونانیان. و پیش از همه طالس ملطی،  اصرار می‎ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا. طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسه منطقی را بنیاد نهاد. (طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال ۵۸۵ پیش از میلاد نیز مشهور است). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.
نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورش و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورش در او به دیده پیامبری دینی می‎نگریستند. او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود. او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه‎ای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود. تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروههای مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعه موسیقی و ریاضی میسر می‎دانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت‎انگیز اعداد را تعلیم می‎داد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی در باره نگره اعداد است، در مکتب او آموخته می‎شد.
زمانی که فیثاغورسیان طولهای کنگ، نظیر   را کشف کردند به سختی یکی خوردند (فصل دوم صفحات ۳۴-۳۵). در ‎آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند. پروکلوس  مورخ می‎نویسد: «هم می‎دانیم مردی که نخستین بار نگره اعداد کنگ را آشکار ساخت هنگام غرق یک کشتی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدندی و تصور ناپذیر است برای همیشه پوشیده بماند». از آنجایی که فیثاغورسیان   را عدد نمی‎شمردند، جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند   و طولهای کنگ دیگر را به توسط پاره خط (مثلاً   را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.
پی‎ریزی منظم هندسه مسطحه توسط مکتب فیثاغورش را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال ۴۰۰ پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سروصورتی داد. با اینکه این کتاب گم شده است، می‎توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگره تناسبهایی را که بر طولهای کنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس،  که نگر‎ه‎اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.
سده چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه افلاطون (که در حدود سال ۳۸۷ پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود. افلاطون در کتاب جمهوری می‎نویسد: «مطالعه ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه می‎دهد و به کار می‎اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است». افلاطون می‎آموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است. زیرا که این جهان سایه جهان اولی است. جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه‎های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، می‎بینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعه ریاضیات بهتر میسر می‎‏شود. روش سقراطی محاوره اصولا روش اثبات نامستقیم است، که با آن نشان داده می‎شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات کنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات ۲۳-۳۵) آورده است. نکته اینجاست که این کنگ بودن طول هرگز نمی‎توانسته از راه‎ اندازه‎گیریهای عینی، که همیشه متضمن یک حاشیه کوچک تجربی خطاست، کشف شود.
اقلیدس شاگر مکتب افلاطون بود. در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد روش قاطع هندسه‌ یونانی و نگره اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شکاهار، اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سده‎های جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فیثاغورسیان را در کتابهای اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتایج کارهای آرکیتاس  را در کتاب هشتم؛ کارهای ائودوکسوس را در کتابهای پنجم، ششم، دوازدهم، و کارهای تئه تتوس  را در کتابهای دهم و سیزدهم. کتاب اقلیدس چنان به طور کامل جانشین کوششهای پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانه‎ای از آن کوششها به جا ماند. جای تأسف است که بازماندگان اقلیدس قادر نبودند حق تألیف کتاب او را گرد‎آوری کنند؛ چون نامبرده مؤلفی است که اثرش بیش از هرکسی در تاریخ بشریت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. وانگهی، روش بنداشتی که اقلیدس به کاربرد الگویی است برای آنچه که ما امروز «ریاضیات محض » می‎نامیم. «محض» به معنی «اندیشه محض» است: هیچ تجربه عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست – تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود.
اصول اقلیدس از این حیث هم «محض» است که متضمن هیچ کاربرد علمی نیست؛ البته، هندسه اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشاره‎ای به آنها نشده است. در افسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدسی پرسید: «از آموختن این مطالب چه عاید من می‎شود؟» اقلیدس غلامش را خواند و گفت: «سکه‎ای به او بده، چون که می‎خواهد از آنچه که فرا می‎گیرد چیزی عایدش شود». این گونه تلقی از کاربرد ریاضیات در میان بسیاری از ریاضیدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها ریاضیات را صرفاً برای خودش، و برای زیبایی و ظرفات ذاتیش فرا می‎گیرند.
چنانکه بعداً خواهیم دید، جای شگفتی است که ریاضیات محض اغلب کاربردهایی پیدا می‎کند که خالق آن هرگز خوابش را هم نمی‎دیده است – دورنمای «غیر عملی» ریاضیات محض، در نهایت، برای اجتماع مفید است. گذشته از آن، آن بخشهایی از ریاضیات هم که «کاربسته» نبوده‎اند برای اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاری زیبا که با هنر و موسیقی قابل مقایسه‎اند و خواه از لحاظ سهم بزرگی که در بسط فهم و خود‎‏آگاهی انسان داشته‎اند.

روش بنداشتی
ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راههای آزمایش و خطا، محاسبه حالات ویژه، حدس در نتیجه الهام، و یا از هر راه دیگری استفاده کنند. روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است. برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً تنها دلیلهای ناقص داده شده بوده است (خواهیم دید، که حتی اقلیدس هم در این زمینه مقصر بوده است). ولی مهم نیست، زیرا که دلیل درست، عاقبت (اغلب بسیار دیر) فراهم می‎شود و جهان ریاضی خشنود می‎گردد.
بنابراین، دلیلها به ما اطمینان می‎دهند که نتیجه‎ها درست هستند. در بسیاری از موارد این استدلالها نتایج کلیتری را عاید می‎کنند. مثلا، مصریان و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی ۳ و ۴ و ۵ باشند، آن مثلث قائم الزاویه است. اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a و b وc  از مثلثی چنان باشند که  ، آنگاه مثلث قائم الزاویه است. برای کسب اطمینان از درستی این نتیجه لازم است بینهایت بار به آزمایش بپردازیم (و بعلاوه، آزمایشها تنها اندازه تقریبی اشیاء را به ما می‎‏دهند). بالاخره، استدلال بینشی شگرف از روابط بین اشیاء مختلفی که مطالعه می‎کنیم به ما می‎بخشد و ما را ملزم می‎سازد که اندیشه‎های خود را به گونه‎ای منسجم سازمان دهیم.
روش بنداشتی چیست؟ اگر بخواهم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم ۱S را بپذیرید، باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر ۲S، که  شما قبلاً آن را پذیرفته‎اید، نتیجه می‎شود. ولی اگر شما ۲S را قبول نداشته باشید، من باید نشان دهم که ۲S چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر ۳S نتیجه می‎شود. ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنم تا به حکمی برسم که شما آن را می‎‏پذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست. حکم اخیر نقش یک بنداشت (یا اصل موضوع) را ایفا می‎کند. اگر نتوانم به حکمی برسم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید، دچار «تسلسل» خواهم شد، یعنی باید دلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.
پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم:
شرط ۱٫ پذیرفتن احکامی به نام «بنداشت» یا «اصل موضوع» که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
شرط ۲٫ توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‎شود، یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‎نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت، که بسیاری از آنها پیچیده بودندو به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. یک دلیل بر زیبایی اصول اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است.
اصطلحات تعریف نشده (حدود اولیه)
در اینکه برای پذیرفتن درستی استدلالی چه لازم است بحث کردیم. اینک شرطی که آن را مسلم می‎شماریم:
شرط O. تفاهم متقابل در معنی واژه‎ها و نمادهایی که در سخن به کار برده می‎شوند.
تا وقتی که اصطلاحاتی را که به کار می‎بریم برای هردوی ما آشناست و از آنها به نحوی سازگار استفاده می‎کنیم در تفاهم متقابل مشکلی وجود ندارد. اگر من اصطلاح ناآشنایی را به کار ببرم شما حق دارید تعریف آ نرا از من بخواهید. تعاریف را به دلخواه نمی‎توان داد؛ تعاریف تابع قواعد استدلالیبی هستند که در شرط ۲ به آنها اشاره کردیم (ولی آنها را مشخص نکردیم). مثلاً اگر زاویه قائمه را زاویه ْ۹۰ تعریف کنم و زاویه ْ۹۰ را زاویه قائمه تعریف کنم، آنگاه از قاعده خلاف استدلال دوری عمل نمودن تخلف کرده‎ام.
و نیز، هر اصطلاحی را که به کار می‎بریم نمی‎توانیم تعریف کنیم. برای اینکه اصطلاحی را تعریف کنیم باید اصطلاحهای دیگری را بکار بریم و برای تعریف این اصطلاحها، باید بازهم از اصطلاحهای دیگری استفاده نماییم، و به همین قیاس، اگر مجاز نباشیم برخی از اصطلاحات را تعریف نشده بپذیریم دچار دور یا تسلسل خواهیم شد.