قيمت گذاری آربيتراژ

آمارمدل قیمت گذاری آربیتراژ
۱٫ مقدمه
تمام مدل هایی که در قبل مورد بررسی قرار گرفت , بر مبنای تجزیه و تحلیل میانگین ـ واریانس بود و فرض بر این بود که برای سرمایه گذاران, مطلوب آن است که سرمایه گذاریها را بر مبنای بازده مورد انتظار و واریانس انتخاب نماید.
همچنان که بیان شد موانع و شبهات عمده ای در آزمون نظریه های تعادلی (CAPM) وجود دارد. در این بحث مفروضات تئوری قیمت گذاری آربیتراژ و چگونگی استخراج مدلهای تعادلی چند عاملی مورد بحث قرار خواهد گرفت.
۲٫ نظریه قیمت گذاری آربیتراژ
(در مدل CAPM فرض می شود سرمایه گذاران دارای تابع مطلوبیت درج دوم هستند و قیمت های اوراق بهادار دارای توزیع نرمال با انحراف معیار قابل برآورد می باشند و این مدل به یک سبد اوراق بهادار بازار مشتمل بر تمامی دارایی های مخاطره آمیز می باشد.
آزمون های CAPM دلالت بر عدم ثبات ضریب حساسیت هر سهم منفرد داشت در حالی که در این آزمون ها ضریب حساسیت سبد اوراق بهادار با فرض طولانی بودن دوره های نمونه گیری و حجم مبادله کافی معمولاً دارای ثبات بود. حمایت های متناقض و مبهمی در مورد ارتباط خطی بین نرخ های بازده و ریسک سیستماتیک سبد اوراق بهادار سهام به همراه شواهدی دال بر نیاز به در نظر گرفتن متغیرهای ریسک اضافی یا نیاز به نماینده های ریسک مختلف وجود داشت. همچنین در چندین گزارش, رال آزمون های مدل و فایده آن را در ارزیابی سبد اوراق بهادار, به علت اتکای آن به سبد اوراق بهادار بازاری متشکل از دارایی های مخاطره آمیز مورد انتقاد قرار داد.
از این رو جامعه دانشگاهی مبادرت به تبیین تئوری قیمت گذاری دارایی نمود که به طرز معقولی, شهودی بوده و متکی به مفروضات محدودی است. این نظریه با نام نظریه قیمت گذاری آربیتراژ در اوایل دهه ۱۹۷۰ به وسیله راس تدوین و در ۱۹۷۶ منتشر شده),در واقع CAPM نسخه ساده ای از مدل APT که فرض می کرد تنها یک عامل سیستماتیک, بازدهی اوراق را تحت تأثیر قرار می دهد. بحث معمول APT مربوط به حالت چند عاملی است.
طبق تعریف, قیمت گذاری نادرست ورقه بهادار به طریقی که سود بدون ریسک ایجاد نماید, “آربیتراژ” نامیده می شود. فرصت آربیتراژ زمانی حاصل می شود که یک سرمایه گذار بتواند پرتفویی را با حجم سرمایه گذاری صفر تشکیل دهد, به نحوی که سود مطمئن (بدون ریسک) به دست آورد. پرتفوی با حجم سرمایه گذاری صفر, یعنی اینکه, به منظور سرمایه گذاری نیازی به استفاده از پول خود وجود نداشته باشد. فرصت آربیتراژ وقتی حاصل می شود که قانون وجود “یک قیمت” رعایت نشود. یعنی که دارایی با قیمتهای متفاوت مبادله شود. APT براین فرض استوار است که یک تعادل منطقی در بازارهای سرمایه, مانع ازفرصتهای آربیتراژ می شود(Bodie, Kane & Marcus, 1996, p.289-292) .
حامیان APT بیان می کنند که APT دو مزیت عمده بر CAPM دارد: اولاً, APT مفروضاتی را درباره ترجیحات سرمایه گذار نسبت به ریسک و بازدهی مطرح می سازد, که برخی ادعا می کنند دارای محدودیت کمتری است. ثانیاً مطرح می کنند که این مدل می تواند به صورت تجربی, معتبر باشد. مسئله اصلی در APT تشخیص عاملها و تمایز تغییرات پیش بینی شده از تغییرات پیش بینی نشده در اندازه گیری حساسیت هاست (Fischer & Jordan, 1991, p.716). به بیان بهتر, از مفروضات ایجاد شده توسطCAPM, تنها سه مورد برای APT ضروری اند(Harrington, 1987, p.194):
مفروضات APT
1.    سرمایه گذاران به دنال بازدهی با ریسک متعادل هستند ؛ آنها ریسک گریزند و به دنبال پیشینه سازی ثروت نهایی شان هستند؛
۲٫    سرمایه گذاران می توانند در نرخ بدون ریسک, وام بگیرند و یا وام بدهند.
۳٫    هیچ محدودیت بازاری, همانند هزینه هایی مبادلاتی , مالیات یا محدودیت فروش استقراضی وجود ندارد.
درحالی که APT مفروضات کمتری نسبت به CAPM دارد, لیکن دو فرض خاص دارد:
۴٫    سرمایه گذاران بر تعداد و همچنین تعیین عواملی که به صورت سیستمی در قیمت گذاری داراییها مهم اند, توافق دارند؛
۵٫    هیچ گونه فرصت سود آربیتراژ(بدون ریسک) وجود ندارد.
این سه فرضیه اولیه رفتار سرمایه گذاران را به طور کلی بیان می کنند, اما درتوصیف عواملی که تصمیمات براساس آنها اتخاذ می شوند, شکست می خورند و این نکته اختلاف مهم بین دو مدل است. APT هیچ فرضی را در مورد توزیع بازدهی داراییها در نظر نمی گیرد و ضروری نمی داند که سرمایه گذاران تصمیماتشان را براساس میانگین و واریانس اتخاذ نمایند, و مفروضات CAPM در مورد نرمال بودن بازدهی, برای ایجاد APT  ضروری نیست. دومین فرضیه, با این مضمون که نرخ بدون ریسک حداقل نرخی است که یک سرمایه گذار برای انجام سرمایه گذار یخواهد پذیرفت, قسمت منطقی هر مدل قیمت گذاری دارایی است . با وجود اینکه APT چیزی در مورد مشکل نرخهای وام دهی و وام گیری مطرح  نمی کند.
در نهایت از آنجا که محدودیتهای بازار, مشکلاتی را در تعیین قیمت گذاری ایجاد نمی کنند, لذا در نظر گرفته نمی شوند. در حالیکه APT فرضیات کمتری را در نظر می گیرد, لیکن در مورد تعیین عوامل قیمت گذاری  و روابط بین بازدهی مورد انتظار و عوامل سیستماتیک را هنماییهای کمنری را فراهم می کند.
۳٫ استخراج مدل
فرض کنید که مدل دو عاملی زیر فرآیند ایجاد بازده سهام را توضیح دهد
(Elton & Gruber, 1995, p.369-372)
 
علاوه بر این فرض کنید که   باشد؛ بدین معنی که عبارت خطای هر سهم یا هر عامل با عبارت خطای سهم دیگر, ناهمبسته است. اگر سرمایه گذار یک پرتفوی خوب متنوع شده, در اختیار داشته باشد ریسک پسماند به سمت صفر میل خواهد کردو تنها ریسک سیستماتیک, دارای اهمیت خواهد بود. در این صورت تنها عباراتی که در معادله فوق ریسک سیستماتیک پرتفوی را تحت تأثیر قرار خواهند داد,   و   می باشند.
از آنجا که فرض می شود سرمایه گذار تنها بر اساس ریسک و بازده مورد انتظار تصمیم می گیرد, وی تنها سه ویژگی هر پرتفوی یعنی   ,   ,   را در نظر می گیرد.

با توجه به شکل
                                              
تمامی سرمایه گذاریها و پرتفویها با یستی در صفحه ای در فضای بازده مورد انتظار,  و   قرار گیرند. اگر پرتفویی در بالا یا زیر صفحه قرار گیر, فرصتی برای آربیتراژ بدون ریسک وجود خواهد داشت. آربیتراژ تا زمانی ادامه خواهد داشت, که تمامی سرمایه گذاریها در یک صفحه برهم منطبق شوند. همان طور که قبلاً ذکر کردیم, معادله عمومی یک صفحه در فضای بازده مورد انتظار,  و  برابر است با:
         معادله APT برای دو عامل
معادله فوق معادله تعادلی ایجاد شده توسطAPT (وقتی که بازده توسط یک معدل دو عاملی ایجاد        می گردد) است. توجه نمایید که  افزایش در بازده مورد انتظار به ازای یک واحد افزایش در  است. بنابراین  و  بازده حاصله بخاطر تحمل ریسک مرتبط با عامل اول و دوم می باشند.
حال پرتویی را با   و   برابر با صفر در نظر بگیرید. بازده مورد انتظار این پرتو برابر با  خواهد بود.  پرتفوی, صفر است که آن را با  نمایش می دهیم. اگر دارایی بدون ریسک وجود نداشته باشد,  جانشین   بازده یک پرتفوی با بتای صفر می شود.
با جای گذاری  به جای   و در نظر داشتن یک پرتفوی   برابر با صفر و  برابر با یک مشاهده می شود که:
 
که در آن:
 = بازده پرتفوی,
  = برابر بایک و   برابر با صفر است. در کل   یا  بازده مورد انتظار اضافی پرتفوی, تنها با توجه به ریسک شاخص   است و دارای مقیاس واحد ریسک می باشد. تجزیه تحلیل فوق می تواند برای حالتی با   عامل تعمیم یابد:
 
با استدلالی شبیه به استدلال فوق می توان مشاهده نمود که تمامی اوراق بهادار و پرتفویها, بازده مورد انتظاری برابر با معادله زیر (توصیف شده توسط یک فوق صفحه   بعدی) دارند:
     مدل چند عاملی
که
 
تحلیل مدل APT برحسب دو عامل, برای درک ارتباط بین اربیتراژ و تعادل و همجنین ارائه روشی برای مقایسه این مدل با CAPM سودمند خواهد بود (Farrell,1997, p.95).  همچنان که بیان شد:
۱)عامل بازار: “عامل عمومی (شاخص) بازار”, به دلیل ارتباط نظری با CAPM و همچنین بخاطر اینکه بازده سهام با شاخصهای بازار ـ به مثابه نماینده بازار ـ ارتباط معنی داری دارند, می تواند به مثابه اولین عامل, برای توصیف بازدهی سهام به کار روند.
۲)عامل نقدشوندگی:عامل دیگری که هم دلیل مفهومی و هم پشتوانه تجربی دارد, رابطه نقدشوندگی و بازده سهام است. برای مثال فروش سریع یک خانه به احتمال زیاد مستلزم ارائه یک امتیاز قیمتی مهم توسط فروشنده است, و معمولاً داراییهای(املاک) واقعی را با درجه نقدشوندگی پایین می شناسیم. به همین ترتیب معمولاً برای خرید و فروش, سهام شرکتهای بزرگ نسبت به شرکتهای کوچک مناسب تراند.
۴٫ روش شناسی تخمین و آزمون APT
مشکل اصلی در آزمون APT این است که ویژگیهای اقتصادی یا خاص شرکتی که بایستی بازده مورد انتظار را تحت تأثیر قرار دهند, تعریف نشده اند. فرآیند “ایجاد بازده” در مدلهای چند عاملی بصورت معادله زیر قابل تبیین است.
(Elton & Gruber, 1995, p.374-386):
اول             
مدل APT که از فرآیند ایجاد بازده فوق استخراج می گردد, می تواند بصورت زیر نوشته شود:
دوم            
با توجه به معادله اول ملاحظه می شود که ورقه   حساسیت منحصر به فردی به  دارد, اما اندازه هر   برای تمامی اوراق بهادار, یکسان (مشابه) است. به عبارتی  , بیش از یک ورقه را(اگر چنین نباشد, در عبارت پسماند  ترکیب خواهد شد) تحت تأثیر قرار می دهد.  ها را درAPT,”عاملها”می گویند. عاملها بازده بیش از یک ورقه بهادار را تحت تأثیر قرار می دهندو منابع کوواریانس بین اوراق بهادار       می باشند.  ها برای هر ورقه منحصر به فرد بوده و بیانگر یک ویژگی خاص ورقه می باشند. این ویژگی می تواند, حساسیت بازده ورقه به یک عامل مشخص, یا یک مشخصه خاص ورقه بهادار, همانند سود نقدی باشد.
در نهایت در معادله دوم,   بازده اضافی مورد انتظار به دلیل حساسیت ورقه بهادار, به  امین ویژگی ورقه بهادار است. تاکنون خواننده بایستی متوجه شده باشد که معادله دوم تا حدودی شبیه به رابطه ای است که برای آزمون CAPM با استفاده از رگرسیون (سری زمانی) مورد استفاده قرار گرفت. با این تفاوت که معادله دوم شباهت زیادی به معادله مورد استفاده در آزمون مقطعی دو مرحله ای CAPM دارد. مسئله اساسی این است که در حالی که   برای CAPM دقیقاً تعریف شده است (یعنی بازده اضافی پرتفوی بازار برای شکل ساده CAPM), برای مدل چند عاملی و APT, مجموعه  ها در نظریه تعریف نشده اند. به منظور آزمودن APT بایستی معادله دوم آزمون گردد, بدین معنی که بایستی  ها تخمین زده شوند. اکثر آزمونها APT از معادله اول برای تخمین  ها استفاده می نمایند. رایج ترین رویکرد برای این مسئله تخمین عاملها( ها) به صورت همزمان و ویژگیهای شرکت( ها) برای معادله دوم است. اکثر آزمونهای قبلی APT از این روش شناسی استفاده نموده اند و این روش هنوز به صورت گسترده ای در ادبیات مالی مورد استفاده قرار می گیرد. در ادامه, مختصراً به فن تخمین همزمان عاملها می پردازیم. برای این منظور می توان از دو شیوه مجزا استفاده نمود. یک روش, تعیین مجموعه ای از ویژگیهایی(مشخصات شرکت) است که احتمال دارد بازده مورد انتظار را تحت تأثیر قرار دهند. در این روش است  ها (مثلاً سودنقدی و بتای شرکت) به طور مستقیم تعیین می شوند.
بعد از تعیین  ها معادله دوم برای تخمین  ها و در نهایت مدل APTبه کار می رود. در روش دوم, عاملهای   در معادله اول تعیین می شوند و سپس ویژگیهای ورقه ( ها)و قیمتهای بازاری ریسک( ها) تخمین زده می شوند.همچنین دو رویکرد به منظور تعیین عاملها وجود دارد. در رویکرد اول, مجموعه ای از پدیأه های کلان اقتصادی که احتمال دارد بازده را تحت تأثیر قرار دهند, در نظر گرفته می شود و سپس از معادله اول برای تخمین  ها استفاده می گردد. این پدیده ها می توانند, شامل متغیرهایی از قبیل نرخ تورم و نرخ بهره باشند.
در رویکرد دوم, مجموعه ای از پرتفویها به مثابه ابزارهایی که عوامل تأثیر گذار بر بازده اوراق را در خود نشان می دهند, تعیین می گردند. همانند حالت قبلی از معادله اول برای تخمین  ها استفاده می شود. بازده فرضی پرتفویها به مثابه  ها در نظر گرفته می شوند و  ها از طریق تحلیل رگرسیون, تخمین زده      می شوند. سپس برای هر دو رویکرد معادله دوم برای به دست آوردن  ها و مدل APT تعیین می گردد. اینک هر دو رویکرد به طور دقیقتر مورد بحث قرار می گیرند.
۱-۴٫ تعیین همزمان عاملها و ویژگیها
فرآیندتعیین عناصر معادله اول برای تمامی فاکتورها و ویژگیها  خش قبلی تعریف گردید, لیکن تعیین دقیق عناصر مذکور, به راحتی تعاریف بیان شده نمی باشد. بدین منظور محققان از فن آماری “تحلیل عاملی” استفاده می نمایند. تحلیل عاملی مجموعه ای از  ها و  ها را به نحوی تعیین می نماید که کوواریانس بازده پسماند(بازده بعد از تأثیر این شاخصها حذف می شود) تا حد ممکن کوچک شود.
در تحلیل عاملی,  ها “عامل” و ها “بارهای عاملی” نامیده می شوند. سودمندی یک مدل APT ارتباط مستقیمی با روش استفاده شده, برای تخمین آن خواهد داشت. به بیان دیگر , شاید یک نظریه صحیح باشد, اما اگر قابل اجرا نبوده یا به شیوه معنی داری تخمین زده نشود, نمی تواند به مثابه بخشی از فرایند سرمایه گذاری به کار گرفته شود. باید توجه نمود , که آزمون APT در واقع آزمون مشترک نظریه و روش شناسی استفاده شده برای کاربرد نظریه است.
تحلیل عاملی, روشی برای شناسایی حساسیت شرکتها  به عاملها و برآورد همزمان عاملهایی است که بازده تعادلی را تحت تأثیر قرار می دهند. مسئله اصلی در تحلیل عاملی برای تخمین عاملها این است که ریاضیات تحلیل عاملی به قدری پیچیده است که تنها تعداد محدودی از اوراق میتوانند در یک زمان تجزیه و تحلیل شوند. دریمز,فرند و گالت کین شواهدی را ارائه کرده اند که تعداد عواملی که در تعیین رابطه, معنی دار ظاهر می شوند تابعی افزایشی از اندازه گروه تحت بررسی می باشند, و ادعا می کنند که تقسیم نمونه به گروههای فرعی, شاید منابع مهم کوواریانس بین سهام را در بین گروهها نادیده بگیرد, و لذا عاملهای مشخص شده در داخل هر گروه فرعی, عامل مشابه تعریف شده ای در گروه دیگر نباشد.

۲-۴٫تعیین ویژگیهای اوراق بهادار
در بخش قبلی چگونگی استفاده از تحلیل عاملی را برای تعیین همزمان ویژگیهای تأثیرگذار بر بازده و بازده اضافی, بررسی نمودیم. اگر مجموعه ای از ویژگیهایی که بازده را تحت تأثیر قرار می دهند از قبل قابل تعیین باشند,در این صورت قیمت بازاری این ویژگیها در هر دوره ای از زمان می تواند اندازه گیری گردد, معادله تخمین به شکل زیر است:
 
که در آن   برابر تعداد ویژگیهاست.  می تواند ارزش هر ویژگی و  متوسط بازده اضافی مورد نیاز به خاطر ویژگیهای مذکور باشد, ارزش ها می تواند از طریق تحلیل رگرسیونی تخمین زده شود. این رویه, قیاس مستقیمی از آزمون دو مرحله ای CAPM است. فاما و مک بث در آزمونCAPM از الگوی مورد نظر پیروی کرده بودند و می توان آن را برای آزمون APT نیز در نظر گرفت.
چنین مدلی توسط شارپ نیز آزمون شده است. وی کار خود را با این فرض شروع می کند که بازده تعادلی بایستی توسط ویژگیهای زیر تحت تأثیر قرار گیرد:بتای سهام با شاخص S&P, سود نقدی, اندازه شرکت (ارزش بازاری داراییها), بتای شرکت با اوراق قرضه بلند مد, ارزش تاریخی آلفا (عرض از مبدأ رگرسیون بازده اضافی تاریخی با بازده اضافی شاخص S&P) و متغیرهای ۸گانه عضویت در بخشهای مختلف. با توجه به مبنای نظری, بتا و سودنقدی بایستی ارتباط مستقیم و مثبتی با بازده مورد انتظار داشته باشند. اندازه شرکت با این فرض که شاخصی برای نقدشوندگی است را می توان با علامت منفی وارد مدل نمود. چنانچه حساسیت به نرخهای بهره متغیر مهمی باشد, انتظار داریم که بتای اوراق قرضه, نقشی را در تعیین بازده تعادلی ایفا نماید. چنانچه ارزش تاریخی آنها معنی دار باشد, می تواند شاهدی بر خود همبستگی پسماندها در CAPM باشد. استفاده از متغیرهای بخشی, به مثابه مجموعه ای از متغیرهای اضافی, نشان می دهد که عضویت در بخش ویژه ای از اقتصاد, اثر مهمی بر بازده تعادلی دارد.

۳-۴٫ تعیین پدیده های تأثیرگذار بر فرآیند ایجاد عایدی
روش دیگر برای تعیین بارهای عاملی  و عاملهای مورد بحث, مشخص نمودن مجموعه تأثیرات یا شاخصها ( ها), در فرآیند ایجاد عایدی است.
چن, رول و راس بدین منظور مجموعه ای از متغیرهای اقتصادی را مورد آزمون قراردادند. استدلال آنها براین بودکه بازده سهام باید متأثر از هر عاملی باشد که جریانات نقدی آتی شرکت یا ارزش این جریانات نقدی را برای سرمایه گذاری تحت تأثیر قرار می دهد. آنها یک مجموعه از معیارهای “تغییرات غیر منتظره” را به شرح ذیل تعیین نمودند:
۱٫    تورم: تورم هم نرخ تنزیل و هم اندازه جریانات نقدی آتی را تحت تأثیر قرار می دهد؛
۲٫    ساختار دوره ای ] زمانی[ نرخهای بهره: تفاوت نرخ اوراق قرضه با سررسید بلند مدت و کوتاه مدت, ارزش پرداختهای آتی را نسبت به پرداختهای دوره نزدیک تحت تأثیر قرار می دهد؛
۳٫    صرف ریسک:تفاوت بین بازده اوراق قرضه مطمئن(درجهAaa) و اوراق قرضه بسیار ریسک دار (Baa), برای اندازه گیری واکنش بازار به ریسک, مورد استفاده قرار می گیرد؛
۴٫    تولید صنعتی: تغییر در تولید صنعتی , فرصتهای موجود برای سرمایه گذاران و ارزش واقعی جریانات نقدی را تحت تأثیر قرار می دهد.
آنها سپس معیارهای فوق را با اهداف زیر مورد آزمون قرار دادند:
۱٫    بررسی اینکه آیا آنها با مجموعه شاخصهای استخراج شده به روش تحلیل عاملی (بکارگرفته شده توسط رول و راس) همبستگی دارند؟
۲٫    آیا آنها بازده تعادلی را توصیف می نمایند؟
وقتی آنها رابطه بین متغیرهای کلان اقتصادی و عاملها را در طول دوره ای که عاملها شکل گرفته بود بررسی نمودند, به رابطه قوی پی بردند. این رابطه برای دوره بعد از آزمون نیز همچنان قوی بود.
دومین مجموعه از آزمونها, این نکته را بررسی می کند که آیا بازده سهام به متغیرهای کلان اقتصادی, حساسیت دارد؟ رویه مورد نظر در این بررسی, مشابه با رویه دو مرحله ای به کار گرفته شده توسط فاما و مک بث, برای بررسی CAPM است.
در مرحله اول, با استفاده از رگرسیون سریهای زمانی, حساسیت هر پرتفوی به هر کدام از متغیرهای کلان اقتصادی(  ها در معادله اول) تخمین زده شد. سپس قیمت بازاری ریسک ( های معادله دوم) با اجرای یک رگرسیون مقطعی برای هر ماه و یافتن میانگین قیمت بازار در هر ماه, تخمین زده شد.
چن, رول و راس پط بردند که متغیرهای کلان اثر معنی داری بر قیمت گذاری دارند. علاوه بر این, وقتی بتای پرتفوی بازار, به مثابه یک متغیر اضافی در کنار حساسیت هر پرتفوی به متغیرهای کلان اقتصادی اضافه می شد, در مرحله دوم رگرسیون(مقطعی), معنی دار نبود. آنها پی بردند که نمی توان ادعا نمود که متغیرهای صحیحی برای قیمت گذاری دارایی باشند.
۴-۴٫ تعیین یک مجموعه از پرتفویهای تأثیرگذار بر فراگرد ایجاد عایدی
روش دیگر تعیین یک مجموعه از پرتفویهایی ( ها) است (که می تواند شامل پرتفوی بازار باشد یا نباشد), که فرض می شود اثر عاملهای تأثیرگذار بر بازده اوراق را در خود داشته باشند.
یک نمونه از این رویکرد توسط فاما و فرنچ برای توصیف بازده انتظاری سهام و اوراق قرضه بکار گرفته شده است. آنها از پرتفوی بازار سهام, برای نمایش  ها برای بیان فراگرد ایجاد عایدی دیگر پرتفویها استفاده نمودند. این پرتفویها عبارت بودند از:
۱٫    اختلاف بین بازده پرتفوی سهام کوچک و پرتفوی سهام بزرگ(کوچک منهای بزرگ)؛
۲٫    تفاوت بین بازده پرتفوی سهام با نسبت ارزش دفتری به ارزش بازاری بزرگ و پرتفوی سهام با نسبت ارزش دفتری به ارزش بازاری کوچک(زیاد منهای کم)؛
۳٫    تفاوت بین بازده ماهانه اوراق قرضه بلند مدت دولتی و بازده ماهانه اوراق خزانه؛
۴٫    تفاوت بین بازده ماهانه پرتفوی اوراق قرضه شرکتی بلند مدت و پرتفوی اوراق قرضه بلند مدت.
توجه نمایید که تمامی متغیرهای فوق, بازده پرتفویهایی  از داراییها یا تفاوت در بازده دو پرتفوی از داراییهاست. آنچه فاما و فرنج انجام دادند تبدیل عامل اندازه از یک مقیاس مستقیم به مفهوم بازده, با ایجاد پرتفویی برای تبیین این تأثیر بود. لذا  بیانگر حساسیتی است که شرکت   نسبت به بازده “پرتفوی اندازه” دارد. از آنجا که در مدل فوق, اندازه توسط بازده پرتفوی سنجیده می شود؛ لذا همانند معادله قیمت گذاری  به مثابه فراگرد ایجاد بازده وارد می شود. روش فوق این امکان را فراهم می سازد که بتوان خواص سریهای زمانی و مقطعی از “اندازه” را بررسی نمایند.
فاما و فرنج مدل فوق را با انجام آزمونهای سری زمانی بررسی نمودند. آنها رگرسیون مقطعی را این چنین بررسی نمودند, که آیا عرض از مبدأ سریهای زمانی بازده اضافی ت همجنان که APT فرض می نماید ـ واقعاً برابر صفر می شود؟ و پی بردند که در واقع عرض از مبدأها صفر هستند و این “مدل پرتفوی”, در توصیف بازده مورد انتظار سهام, موفق است. به طور مشخص تر, آنها نتیجه گیری نمودند که حداقل ۴ عامل فوق نقش تبیینی خوبی در: ۱)بیان تغییرات بازدهی اوراق قرضه و سهام؛ و۲)متوسط بازده های مقطعی دارند.
۵٫ آزمونهای تجربی APT
اولین آزمونAPT توسط گهر, در سال ۱۹۷۸ و مهمترین آزمون, توسط راس و رول(RR) در سال ۱۹۸۰ انجام گردید (Alexander, 1986, p.262). روش شناسی RR شبیه به روش تحقیق به کار گرفته شده توسط بلک, جنس و شولز در آزمون CAPMبود (Haugen, 1997, p.267). نتایج حاصل از بررسی RR بر روی ۴۲ گروه ۳۰ سهمی بدین شکل بود که حداقل ۳ و احتمالاً ۴ عامل در قیمت گذاری داراییها مهم می باشند. در بررسیهای بعدی توسطRR در سالهای ۱۹۸۳ و ۱۹۸۴ آنها ۴ عامل اقتصادی زیر را در قیمت گذاری داراییها تأثیر گذار یافتند:
۱٫    تورم؛
۲٫    تولید صنعت؛
۳٫    بهره شناور بین اوراق قرضه شرکتی با درجه بالا و درجه پایین؛
۴٫    شیب ساختار نرخ بهره, که از طریق اختلاف بین بازدهی اوراق قرضه دولتی بلند مدت ونرخهای اوراق خزانه تعیین می شود(Alexander, 1986, p.263).
روش شناسی RR بدین صورت بوده است که آنها ابتدا بتاهای عاملی را برای اوراق بهادار تخمین زده و سپس رابطه  مقطعی بین بتای اوراق بهادار و متوسط نرخ بازده را مشخص نمودند.RR برای تخمین بتاهای عاملی از تحلیل عاملی, استفاده نمودندواطلاعات مورد نیاز برای تحلیل عاملی, ماتریس کوواریانس بازده اوراق تحت بررسی است. تحلیل عاملی , عاملهای بتایی را مشخص می کندکه به بهترین وجه ممکن کوواریانس موجود بین اوراق بهادار را در نمونه تحت بررسی توصیف می نمایند. تحلیل عاملی همچنین/ع یک مجموعه از پرتفویهای شاخصی و بتاهای شاخصی را به نحوی مشخص می کند, که کوواریانسهای پسماند بین بازده ه, تا حد ممکن کوچک شود. در مدل چند عاملی(APT) فرض می شود که کوواریانس بین نرخهای بازده هر دو سهم به شکل زیر باشد:
 
تحلیل عاملی,فرض می کند که واریانس تک تک عاملها برابر با ۱ است. پس مجموعه بتاهای عاملی برای هر سهم, به نحوی مشخص می شود که ماتریس کوواریانس(که توسط معادله فوق مشخص می شود) تا حد ممکن مطابق با ماتریس کوواریانس نمونه باشد. بعد از تخمین عاملهای بتا, قدم بعدی تخمین ارزش قیمت عامل   هر عامل است. این عمل از طریق برقراری ارتباط مقطعی عاملهای بتا با متوسط بازده, با استفاده از روشی که توسط BJSبه کار گرفته شد, انجام می شود. به خاطر پیچیدگی بسیار زیاد, تحلیل عاملی, تنها می تواند برای یک مجموعه کوچکی از سهام بکار گرفته شود.
APT فرض می کند که تخمینهای عرض از مبدأ  و مقادیر ها بایستی برای هر نمونه بررسی شده, مشابه باشد. براون و وینستن (۱۹۸۳) درمطالعه خود این فرض را آزمودند و به نتایج مبهمی رسیدند. در کل می توان گفت که آزمونهای تجربی APT در مراحل آغازین خود می باشند و شواهد کاملی در رد یا تأیید این مدل وجود ندارد.
۶٫APT  و CAPM
مدل قیمت گذاری CAPM کمک می کند تا نرخ بازده مورد نیاز برای هر دارایی مخاطره آمیز را تعیین کنیم و هم چنین مدل قیمت گذاریAPT, که این مدل نسبت به CAPM دارای مفروضات کمتر می باشد یعنی شامل (۱-تابع معلموبیت کودارتیک  2-توزیع نرمال بازده اوراق بهادار ۳-وجود لبه اوراق بهادار) این مفروضات نیست.
بازاری که شامل همه دارایی های مخاطره آمیز میباشد متعدد است. این موضوع برخلاف CAPM می باشد که یک مدل تک فاکتوری است. یعنی مدل CAPM فرض می کند که ریسک دارایی توسط یک متغیر تعیین می شود که آن متغیر در ضریب حساسیت ۴ است و در واقع APT و CAPM با یکدیگر سازگارند, حتی وقتی که بازده با بیش از یک عامل تعیین شود.
۷٫APT و بازار سرمایه ایران    
تحقیقی در سال ۱۳۷۹ پیرامون آزمون APT در بورس اوراق بهادار تهران و سهام ۵۷ شرکت پذیرفته شده در بورس تهران در دوره زمانی ۱۳۷۱ تا پایان سال ۱۳۷۶ انجام گردید. مراحل برآورد معدل در تحقیق مذکوربه شرح زیر بوده است:
۱٫    تعیین ماتریس کوواریانس بازده اوراق بهادار با استفاده از سری زمانی بازده.
۲٫    برآورد تعداد عوامل و ماتریس بارهای عاملی با استفاده از روش تحلیل عاملی.
۳٫    برآورد صرف ریسکها با استفاده از بارهای عاملی و تحلیل رگرسیون.
در مرحله اول تحلیل عاملی ۱۴ عامل استخراج شد که فقط دو عامل از ۱۴ عامل در مرحله بعد توسط بازار قیمت گذاری شد. به عبارت دیگر فقط دو عامل دارای صرف ریسک معنی دار از نظر آماری بودند. بدین ترتیب محققان بدین صورت نتیجه گیری نمودند که در دوره مورد بررسی دو عامل در سطح کلان اقتصاد, بازده اوراق بهادار مورد مبادله در بورس اوراق بهادار تهران را تحت تأثیر قرار می دهد و این دو عامل در مجموع در حدود ۲۶ درصد تغییرات نرخ بازده اوراق بهادار را توضیح می دهند. در کل خلاصه یافته های تحقیق فوق به شرح زیر می باشد:
۱-    فرض تأثیرگذار بودن متغیرهای اقتصادی بر بازده اوراق بهادار در بورس تهران رد نمی شود, اگرچه  به دست آمده پایین است, ولی این امر می تواند ناشی از ناهمگن بودن نمونه منتخب باشد.
۲-    فرض وجود رابطه خطی بین بازده مورد انتظار و ریسک اوراق بهادار در سطح ۹۰درصد اطمینان رد نمی شود.
در سطح ۹۰درصد اطمینان ۲ عامل در سطح اقتصاد کلان, حدود۳۰درصد از نوسانات بازده اوراق بهادار را توضیح می دهند.
۸٫APT و اثر ژانویه
با مشخص شدن بی نظمی ژانویه به این معنا که بازده ها در ژانویه به طورچشمگیری از ماههای دیگر بیشتر است, گولتکین و گولتکین توانایی مدل APT را به جهت تعدیل برای این بی نظمی مورد آزمون قرار دادند. مدل APT برای هر ماه مورد ارزیابی قرار گرفت و همیشه صرف ریسک در ژانویه قابلیت توضیح دهندگی داشت ولی بندرت در سایر ماهها قابل اندازه گیری بود. نتیجه اینکه مدل APTهمانند CAPM تنها می توانست ارتباط ریسک ـ بازده را در ژانویه بیان کند و نشان دهنده این بود که مدل APT نمی تواند بهتر از CAPMاین ناهنجاری را توجیه نماید.
برمیستر و مک الروی با یک مدل تابعی خطی (LFM), APT وCAPM را ارزیابی کردند. آنها اثر ژانویه را به شکل معنی داری یافتند که به وسیله هیچ یک از مدل ها بدست نیامده بود. ولی زمانی که فراتر از ژانویه رفتند CAPM را به نفع APT  رد کردند.
۹٫٫APT و اثر تورم
التون,گروبر و رنتزلر مدل APT را برای بررسی اثر تورم بر بازده دارایی توسعه دادند. آنها بعد از تبیین مدل تعادلی از بازده های واقعی, فرض کردند عامل تورم, اندازه گیری نشده است. بنابراین مدل APT را برای این منظور بکار بردند و نتایج را با CAMP که برای تورم تعدیل شده بود, مقایسه کردند. آنان اظهار داشتند که توسعه مدل های APT با عوامل قابل شناسایی از نظر آماری که دارای معنای اقتصادی باشد مثل تورم و رشد GDP واقعی, حایز اهمیت است.
۱۰٫تکنیک های آزمون بدیل
بجز مواردی که در آزمون های قبل بررسی شد, در چندین مقاله تکنیک های آماری دیگری برای آزمون مدل APTپیشنهاد شده است . جانسون پیشنهاد می کند,APT  با استفاده از مدل رگرسیون خطی چند واریانسی آزمون شود. براون و ونشتاین برای بررسی و آزمون مدل های قیمت گذاری دارایی, رویکردی بر مبنای پارادایم دو خطی پیشنهاد می کنند و تعدادی از مقالات دیگر متدولوژی های جدیدی برای APTپیشنهاد کرده اند.