خرید اینترنتی کتاب

جستجو در تک بوک با گوگل!

تابعيت پايگاه تك بوك از قوانين جمهوري اسلامي ايران

فرادرس!



چطور!




تبلیغات!


غلبه بر کم رویی

اقلیدس (ریاضیدان)

امتیاز به این مطلب!

521 views

بازدید

کسی که هندسه نمی‎داند از این در داخل نشود،
کتیبه سر در روی آکادمی افلاطون
بیشتر مردم نمی‎دانند که در حدود یک سده و نیم پیش انقلابی در زمینه هندسه روی داد که از لحاظ علمی به عمق انقلاب کوپرنیکی در نجوم، و از جنبه نتایج فسلفی به اهمیت نگره تکامل داروین بود. کاکستر ، هندسه‎دان کانادایی می‎نویسد: «تأثیر کشف هندسه هذلولوی در تصوری که از حقیقت و واقعیت داریم آنچنان عمیق بوده است که بدشواری می‎توانیم تصور کنیم که امکان وجود هندسه‎ای غیر از هندسه اقلیدسی تا چه اندازه در سال ۱۸۲۰ تکان دهنده جلوه‎ کرده است.» اما همه ما امورزه نام هندسه فضا – زمان نگره نسبیت اینشتاین را شنیده‎ایم. «در واقع، هندسته پیوستار  فضا – زمان به حدی به هندسه تا اقلیدسی وابسته است که آگاهی از این هندسه‎ها شرط لازم برای درک کامل جهانشناسی نسبیت است.»
هندسه اقلیدسی، همان هندسه‎ای که شما در دبیرستان خوانده‎اید، هندسه‎ای است که بیشتر برای تجسم جهان مادی به کار می‎بریم. این هندسه از کتابی به نام اصول  به دست ما رسیده که توسط اقلیدس، ریاضیدان یونانی، در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است. تصوری که ما براساس این هندسه از جهان مادی پیدا کرده‎ایم تا حد زیادی به توسط آیزک نیوتن در اواخر سده هفدهم ترسیم شده است.
هندسه‎هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعه عمیقتر موضوع توازی در هندسه اقلیدسی پیدا شده‎اند. دو نیمخط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زیر در نظر بگیرید:

در هندسه اقلیدسی فاصله (عمودی) بین دو نیمخط هنگامی که به سمت راست حرکت می‎کنیم همواره مساوی فاصله P تا Q باقی می‎ماند؛ ولی در اوایل سده نوزدهم دو هندسه دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسه هذلولوی (از کلمه یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصله میان نیمخطها افزایش می‎یابد، دیگری هندسه بیضوی  (از کلمه یونانی الیپن «کوتاه شدن») که در آن این فاصله رفته رفته کم می‎‏شود و سرانجام نیمخطها همدیگر را می‎برند. این هندسه‎های نااقلیدسی بعدها به توسط ک.ف. گاوس و گ.ف.ب. ریمان در قالب هندسه کلیتری بسط داده شدند (همین هندسه کلیتر است که در نگره نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است ).
در این کتاب ما به هندسه‎های هذلولوی و اقلیدسی خواهیم پرداخت. هندسه هذلولوی تنها به تغییر یکی از اصول اقلیدس نیاز دارد، و می‎تواند به همان آسانی هندسه دبیرستانی فهیمده شود. از سوی دیگر، هندسه بیضوی شامل مفهوم توپولوژیک تازه «سوناپذیری» است، زیرا همه نقاط صفحه بیضوی که بر روی یک خط نیستند در یک طرف آن خط قرار داردند. از این هندسه نمی‎شود به همان سهولت هندسه اقلیدسی صبحت کرد، زیرا به بسط قبلی هندسه تصویری نیاز دارد. بنابراین بحث در باره هندسه بیضوی را در یک ضمیمه کوتاهی انحام داده‎ام. (اشتباه نشود! منظو ما این نیست که ارزش هندسه بیضوی کمتر از ارزش هندسه‌هذلولوی است.) فهم هندسه ریمانی مستلزم درک کامل محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، و لذا بیرون از ظرفیت این کتاب است (در ضمیمه «ب» مختصری راجع به آن بحض شده است).
فصل اول با تاریخچه مختصری در باب هندسه در دوران قدیم آغاز می‎شود، و به بیان اهمیت بسط روش بنداشتی  توسط یونانیان ادامه می‎یابد. همچنین پنج اصل موضوع اقلیدس معرفی و به تلاش لژاندر برای اثبات اصل موضوع پنجم ختم می‎شود. برای پیدا کردن نقص برهان لژاندر (و برهانهای دیگر)، لازم است که مبانی هندسه دو باره دقیقاً مورد بررسی قرار گیرد. ولی، پیش از آنکه بتوانیم اساساً هندسه‎ای بنا کنیم، باید به بعضی از اصول بنیادی منطق آگاهی داشته باشیم. این اصول در فصل دوم به گونه‎ای غیر رسمی دوباره بررسی شده‎اند. در این فصل عناصر مشکله یک برهان دقیق را از نظر می‎گذرانیم و بویژه به روش اثبات نامستقیم یا برهان خلف تکیه می‎کنیم. فصل دوم به مفهوم بسیار مهم الگو  برای یک دستگاه بنداشت ختم می‎شود، که با الگوهای متناهی از بنداشتهای وقوع نقاط و خطوط در هندسه نشان داده شده‎اند.
فصل سوم با بحثی از برخی نقایص در نحوه ارائه هندسه به توسط اقلیدس آغاز شده، و این نقایص با ارائه کامل بنداشتهای داوید هیلبرت (با اندکی تغییر) و نتایج اولیه آنها برطرف شده‎اند. ممکن است هنگام اثبات نتایجی که خودبخود بدیهی به نظر می‎رسند بی‎حوصله شوید. اما، هرگاه بخواهید با اطمینان در فضای نااقلیدسی کشتی برانید باید به این کار اساسی تن درهید.
مطالعه نتایج بنداشتهای هیلبرت، جز اصول نوازی، در فصل چهارم ادامه یافته است.
موضوع این مطالعه هندسه نتاری نامیده شده است. بعضی از قضیه‎های اقلیدس (مثل قضیه زاویه خارجی) را که شما با آنها آشنایی دارید، با روشی غی از روشهایی که به توسط اقلیدس به کار رفته‎اند اثبات خواهیم کرد. این تغییر به علت شکافهای منطقی موجود در استدلالاهای اقلیدس لازم بوده است؛ همچنین برخی قضایا را که اقلیدس نمی‎توانسته است بر آنها واقف باشد (مانند قضیه‌ساکری – لژاندر) ثابت خواهیم کرد.
به اتکای پایه‎های محکمی که در فصول مقدم بر فصل پنجم گذاشته شده‎اند، آمادگی خواهیم داشت که در فصل پنجم چند تلاش مهم را که برای اثبات اصل توازی صورت گرفته‎اند مورد تجزیه و تحلیل قرار دهیم (در تمرینات مجال خواهید داشت که نقایصی را در تلاشهای دیگر پیدا کنید). بر اثر این مطالعات، شیوه تفکر اقلیدسی شما چنان تکان می‎خورد که در فصل ششم می‎توانیم «دنیا شگرف تازه»‎ای را کشف کنیم، دنیایی را که در آن مثلثها مجموع زوایای «نادرست» دارند، مستطیل وجود ندارد، خطوط موازی ممکن است واگرا و یا به طور مجانبی همگرا باشند. در ضمن این کار داستان هیجان‎انگیز تاریخی اکتشاف تقریباً همزمان هندسه هذلولوی توسط گاوس، بویوئی و لوباچفسکی، در اوایل سده نوزدهم، را ورق خواهیم زد.
این هندسه با اینکه ناآشناست، به همان سازگاری هندسه اقلیدسی است. این نکته را در فصل هفتم هنگام بررسی سه الگوی اقلیدسی که در تجسم هندسه هذلولوی نیز ما را یاری می‎کند اثبات خواهیم کرد. الگوهای پوانکاره این برتری را دارند که در آنها زوایا به روش اقلیدسی اندازه گرفته می‎شوند؛ برتری الگوی بلترامی – کلاین در نمایش خطوط توس پاره‎خطهای اقلیدسی است. همچنین در فصل هفتم از مطالبی از هندسه اقلیدسی بحث خواهیم کرد که در کتابهای دبیرستانی ذکری از آنها نشده است.
سرانجام،‌فصل هشتم به طریقی کلی برخی از استلزامهای فلسفی هندسه‎های نااقلیدسی را دربر می‎گیرد. عرضه مطالب تعمداً به گونه‎ای جدلی صورت گرفته است و منظور از مقاله‎های انشایی برانگیختن خواننده و تشویق او به تفکر و مطالعه بیشتر است.
بسیار مهم است که شما همه تمرینات را حل کنید، زیرا که نتایج تازه در ضمن تمرینات بسط داده شده و سپس در فصول بعدی مورد استفاده قرار گرفته‎اند. با حل همه تمرینات، ممکن است شما هم به جایی برسید که از هندسه به اندازه من لذت ببرید.

هندسه اقلیدس
اصل توازی… در دوران کهن حل نهایی مسئله‎ای بود که بایستی ریاضیات یونان را زمانی دراز پیش از اقلیدس به خود مشغول داشته باشد.
هانس فروید نتهال
منشأ هندسه
واژه «ژئومتری» از دو واژه یونانی؛ ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازه‎گیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازه‎گیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سده پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می‎دهد. ولی تمدنهای کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیاد داشته‎اند.
هندسه پیشینیان در واقع گرد‎اوری از روشهای «قاعده سرانگشتی» بود که از راه آزمایش. بررسی شباهتها، حدسها و شهودهای اتفافی، دست یافتن به آنها میسر شده بود. خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند. بابلیهای ۲۰۰۰ تا ۱۶۰۰ سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را ۳ برابر قطرش می‎گرفتند. یعنی  را مساوی ۳ اختیار می‎کردند. این همان مقداری است که ویتروویوس  معمار رومی به آن داده بود و در نوشته‎های چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستانی این مقدار را مقدس می‎شمردند و می‎پنداشتند که کتاب مقدس آن ار تثبیت کرده است (کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیه بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا  برای تبدیل   به ۷/۲۲ به نتیجه نرسیده بود. مصریان سال ۱۸۰۰ پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند  مقداری تقریبی   را چنین می‎گرفته‎‏اند:
 
حدسهای مصریان در پاره‎ای از موارد درست و در پاره‎ای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجسته آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوی دیگر، چنین می‎‏پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز می‎تواند صحیح باشد. هندسه مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی‎هیچ موجبی یا توجیهی.
بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته‎تر بودند. وانگهی، قضیه فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طولهای دو ضلع دیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می‎دانستند. تحقیات اخیر اتونویگه باوئر  تأثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلاً نادانسته بود مکشوف ساخته است.
ولی یونانیان. و پیش از همه طالس ملطی،  اصرار می‎ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا. طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسه منطقی را بنیاد نهاد. (طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال ۵۸۵ پیش از میلاد نیز مشهور است). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.
نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورش و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورش در او به دیده پیامبری دینی می‎نگریستند. او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود. او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه‎ای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود. تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروههای مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعه موسیقی و ریاضی میسر می‎دانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت‎انگیز اعداد را تعلیم می‎داد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی در باره نگره اعداد است، در مکتب او آموخته می‎شد.
زمانی که فیثاغورسیان طولهای کنگ، نظیر   را کشف کردند به سختی یکی خوردند (فصل دوم صفحات ۳۴-۳۵). در ‎آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند. پروکلوس  مورخ می‎نویسد: «هم می‎دانیم مردی که نخستین بار نگره اعداد کنگ را آشکار ساخت هنگام غرق یک کشتی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدندی و تصور ناپذیر است برای همیشه پوشیده بماند». از آنجایی که فیثاغورسیان   را عدد نمی‎شمردند، جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند   و طولهای کنگ دیگر را به توسط پاره خط (مثلاً   را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.
پی‎ریزی منظم هندسه مسطحه توسط مکتب فیثاغورش را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال ۴۰۰ پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سروصورتی داد. با اینکه این کتاب گم شده است، می‎توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگره تناسبهایی را که بر طولهای کنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس،  که نگر‎ه‎اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.
سده چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه افلاطون (که در حدود سال ۳۸۷ پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود. افلاطون در کتاب جمهوری می‎نویسد: «مطالعه ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه می‎دهد و به کار می‎اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است». افلاطون می‎آموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است. زیرا که این جهان سایه جهان اولی است. جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه‎های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، می‎بینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعه ریاضیات بهتر میسر می‎‏شود. روش سقراطی محاوره اصولا روش اثبات نامستقیم است، که با آن نشان داده می‎شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات کنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات ۲۳-۳۵) آورده است. نکته اینجاست که این کنگ بودن طول هرگز نمی‎توانسته از راه‎ اندازه‎گیریهای عینی، که همیشه متضمن یک حاشیه کوچک تجربی خطاست، کشف شود.
اقلیدس شاگر مکتب افلاطون بود. در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد روش قاطع هندسه‌ یونانی و نگره اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شکاهار، اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سده‎های جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فیثاغورسیان را در کتابهای اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتایج کارهای آرکیتاس  را در کتاب هشتم؛ کارهای ائودوکسوس را در کتابهای پنجم، ششم، دوازدهم، و کارهای تئه تتوس  را در کتابهای دهم و سیزدهم. کتاب اقلیدس چنان به طور کامل جانشین کوششهای پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانه‎ای از آن کوششها به جا ماند. جای تأسف است که بازماندگان اقلیدس قادر نبودند حق تألیف کتاب او را گرد‎آوری کنند؛ چون نامبرده مؤلفی است که اثرش بیش از هرکسی در تاریخ بشریت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. وانگهی، روش بنداشتی که اقلیدس به کاربرد الگویی است برای آنچه که ما امروز «ریاضیات محض » می‎نامیم. «محض» به معنی «اندیشه محض» است: هیچ تجربه عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست – تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود.
اصول اقلیدس از این حیث هم «محض» است که متضمن هیچ کاربرد علمی نیست؛ البته، هندسه اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشاره‎ای به آنها نشده است. در افسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدسی پرسید: «از آموختن این مطالب چه عاید من می‎شود؟» اقلیدس غلامش را خواند و گفت: «سکه‎ای به او بده، چون که می‎خواهد از آنچه که فرا می‎گیرد چیزی عایدش شود». این گونه تلقی از کاربرد ریاضیات در میان بسیاری از ریاضیدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها ریاضیات را صرفاً برای خودش، و برای زیبایی و ظرفات ذاتیش فرا می‎گیرند.
چنانکه بعداً خواهیم دید، جای شگفتی است که ریاضیات محض اغلب کاربردهایی پیدا می‎کند که خالق آن هرگز خوابش را هم نمی‎دیده است – دورنمای «غیر عملی» ریاضیات محض، در نهایت، برای اجتماع مفید است. گذشته از آن، آن بخشهایی از ریاضیات هم که «کاربسته» نبوده‎اند برای اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاری زیبا که با هنر و موسیقی قابل مقایسه‎اند و خواه از لحاظ سهم بزرگی که در بسط فهم و خود‎‏آگاهی انسان داشته‎اند.

روش بنداشتی
ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راههای آزمایش و خطا، محاسبه حالات ویژه، حدس در نتیجه الهام، و یا از هر راه دیگری استفاده کنند. روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است. برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً تنها دلیلهای ناقص داده شده بوده است (خواهیم دید، که حتی اقلیدس هم در این زمینه مقصر بوده است). ولی مهم نیست، زیرا که دلیل درست، عاقبت (اغلب بسیار دیر) فراهم می‎شود و جهان ریاضی خشنود می‎گردد.
بنابراین، دلیلها به ما اطمینان می‎دهند که نتیجه‎ها درست هستند. در بسیاری از موارد این استدلالها نتایج کلیتری را عاید می‎کنند. مثلا، مصریان و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی ۳ و ۴ و ۵ باشند، آن مثلث قائم الزاویه است. اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a و b وc  از مثلثی چنان باشند که  ، آنگاه مثلث قائم الزاویه است. برای کسب اطمینان از درستی این نتیجه لازم است بینهایت بار به آزمایش بپردازیم (و بعلاوه، آزمایشها تنها اندازه تقریبی اشیاء را به ما می‎‏دهند). بالاخره، استدلال بینشی شگرف از روابط بین اشیاء مختلفی که مطالعه می‎کنیم به ما می‎بخشد و ما را ملزم می‎سازد که اندیشه‎های خود را به گونه‎ای منسجم سازمان دهیم.
روش بنداشتی چیست؟ اگر بخواهم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم ۱S را بپذیرید، باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر ۲S، که  شما قبلاً آن را پذیرفته‎اید، نتیجه می‎شود. ولی اگر شما ۲S را قبول نداشته باشید، من باید نشان دهم که ۲S چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر ۳S نتیجه می‎شود. ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنم تا به حکمی برسم که شما آن را می‎‏پذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست. حکم اخیر نقش یک بنداشت (یا اصل موضوع) را ایفا می‎کند. اگر نتوانم به حکمی برسم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید، دچار «تسلسل» خواهم شد، یعنی باید دلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.
پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم:
شرط ۱٫ پذیرفتن احکامی به نام «بنداشت» یا «اصل موضوع» که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
شرط ۲٫ توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‎شود، یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‎نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت، که بسیاری از آنها پیچیده بودندو به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. یک دلیل بر زیبایی اصول اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است.
اصطلحات تعریف نشده (حدود اولیه)
در اینکه برای پذیرفتن درستی استدلالی چه لازم است بحث کردیم. اینک شرطی که آن را مسلم می‎شماریم:
شرط O. تفاهم متقابل در معنی واژه‎ها و نمادهایی که در سخن به کار برده می‎شوند.
تا وقتی که اصطلاحاتی را که به کار می‎بریم برای هردوی ما آشناست و از آنها به نحوی سازگار استفاده می‎کنیم در تفاهم متقابل مشکلی وجود ندارد. اگر من اصطلاح ناآشنایی را به کار ببرم شما حق دارید تعریف آ نرا از من بخواهید. تعاریف را به دلخواه نمی‎توان داد؛ تعاریف تابع قواعد استدلالیبی هستند که در شرط ۲ به آنها اشاره کردیم (ولی آنها را مشخص نکردیم). مثلاً اگر زاویه قائمه را زاویه ْ۹۰ تعریف کنم و زاویه ْ۹۰ را زاویه قائمه تعریف کنم، آنگاه از قاعده خلاف استدلال دوری عمل نمودن تخلف کرده‎ام.
و نیز، هر اصطلاحی را که به کار می‎بریم نمی‎توانیم تعریف کنیم. برای اینکه اصطلاحی را تعریف کنیم باید اصطلاحهای دیگری را بکار بریم و برای تعریف این اصطلاحها، باید بازهم از اصطلاحهای دیگری استفاده نماییم، و به همین قیاس، اگر مجاز نباشیم برخی از اصطلاحات را تعریف نشده بپذیریم دچار دور یا تسلسل خواهیم شد.

اقلیدس نهایت سعی خود را کرد که همه اصطلاحات هندسی را تعریف کند. او «خط مستقیم» را چنین تعریف می‎کند: «خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که بر خود آن هستند قرار داشته باشد». این تعریف،‌ مفید فایده‎ای نیست زیرا که برا فهمیدن آن شما باید قبلاً تصوری از خط داشته باشید. پس بهتر است «خط» را به عنوان اصطلاحی تعریف نشده بپذیریم. همچنین اقلیدس «نقطه» را «چیزی که هیچ جزء ندارد» تعریف می‎کند – که باز جندان روشن نیست. پس «نقطه را هم به عنوان اصطلاحی تعریف نشده می‎پذیریم. اینک پنج اصطلاح تعریف نشده که مبنایی است برای تعریف همه اصطلاحات هندسی دیگر در هندسه مسطحه اقلیدسی:
۱٫    نقطه
۲٫    خط
۳٫    «قرارداد (دارند) بر» (مثلا در: دو نقطه فقط بر یک خط منحصر به فرد قرار دارند)
۴٫    «میان» (مثلاً در: نقطه C میان نقاط A و B  قرار دارد)
۵٫    قابل انطباق
برای هندسه فضایی ناگزریم اصطلاح هندسی تعریف نشده دیگری یعنی «صفحه» را بپذیریم و نسبت «قرار دارد بر» را تعمیم دهیم تا قرار گرفتن نقاط و خطوط را بر صفحه میسر سازیم. در این کتاب (مگر اینکه خلاف آن ذکر شود) خود را به هندسه مسطحه یعنی به یک صفحه تنها محدود می‎کنیم و لذا صفحه را چنین تعریف می‎کنیم: مجموعه نقاط و خطوطی است که گفته می‎شود همه آنها «بر آن قرار دارند».
عبارتهایی هستند که اغلب با عبارت «قرار دارد بر روی…» مرادف هستند. به جای اینکه بگوییم «نقطهP بر خطl قرار داد» گاهی می‎گوییم «خطl از نقطه Pمی‎گذرد» یا «Pبرl واقع است». اگر نقطه Pهم بر خطl و هم بر خطm واقع باشد، می‎گوییم «l وm در نقطه Pمشترک‎اند» یا «l وm در نقطه Pمتقاطع‎اند» یا «l وm در نقطه Pمتلاقی‎اند».
دومین اصطلاح تعریف نشده یعنی «خط» را با «خط مستقیم» مرادف می‎گیریم. صفت «مستقیم» که تصرفی در نام «خط» می‎کند گمراه کننده است. همچنین ما از «خطوط منحنی» صحبت نمی‎کنیم. با اینکه واژه «خط» تعریف نخواهد شد، بنداشتهای هندسه ما کاربرد آن را محدود خواهد ساخت. مثلاً، یکی از بنداشتها می‎گوید از هر دو نقطه مفروض تنها یک خط می‎گذرد. بدین ترتیب خطوط lوm در شکل ۱٫۱ نمی‎توانند معرف دو خط در هندسه ما باشند، زیرا که هر دو بر نقاطP وQ می‎گذرند. شما بایدl وm را «خم» بنامید نه «خط».

 اصطلاحات ریاضی دیگری هم وجود دارند که ما ناگزیریم از آنها استفاده کنیم و چون تعریفی برای آنها قائل نمی‎شویم، باید آنها را به فهرست اصطلاحات تعریف نشده بیفزاییم. پیشتر به آنها نپرداختیم. به این دلیل که آنها ماهیت خاص هندسی ندارند، بلکه چیزهایی هستند که اقلیدس آنها را «بنداشت علوم متعارفه» می‎نامد. مع‎هذا چون ممکن است در باره این اصطلاحات دچار ابهامی بشویم، گفتن نکته‎ای چند لازم است.
واژه «مجموعه» در همه ریاضیات امروزی بنیادی است و اکنون در دبستانها هم به کار برده می‎شود. بنابراین تردیدی نیست که شما با کاربرد آن کاملاً‌ آشنایی دارید. فکر کنید مجموعه «انبوهی است از اشیاء». دو مفهوم وابسته به آن هستند: یکی «تعلق داشتن به» یک مجموعه یا «بودن عضو یا عنصر» یک مجموعه است. مثل این قرارداد که می‎گوییم همه نقاط و همه خطها به صفحه «تعلق دارند». اگر هر عضو یک مجموعه S عضوی از یک مجموعه T هم باشد، می‎گوییم S در T «گنجیده است» و یا ««جزیی است از » T یا «زیرمجموعه» T است. مثلاً مجموعه تمام کودکان زیر مجموعه‎ای است از تمام مردم.
در زبان مجموعه‎ها دو مجموعه S و ‏T را زمانی مساوی یکدیگر گوییم که هر عضو S عضو T باشد و بعکس. مثلاً S یعنی مجموعه همه مولفان اصول اقلیدس (به جرأت می‎توانیم بگوییم) مساوی با مجموعه‎ای است که تنها عضوش اقلیدس است. پس در این مورد «تساوی» به معنی «همانی» است.
اقلیدس واژه «مساوی» را در معنی متفاوت دیگری هم به کار می‎برد. مثلاً در این حکم: «در مثلث متساوی الساقین زاویه‎های مجاور به قاعده مساوی هستند». منظور او این است که در یک مثلث متساوی‎الساقین تعداد درجه‎های زاویه‎های مجاور به قاعده یکی است، نه اینکه خود آن دو زاویه یکی هستند. لذا در این گونه موارد برای جلوگیری از اشتباه، ما دیگر از واژه مساوی به معنی اقلیدسی استفاده نمی‎کنیم، بلکه به جای آن اصطلاح تعریف نشده قابل انطباق را به کار خواهیم برد. می‎گوییم «در یک مثلث متساوی الساقین زاویه‎های مجاور به قاعده قابل انطباق‎اند. همچنین نمی‎گوییم: «اگر AB مساوی AC باشد، آنگاه ABC متساوی الساقین است». بنابر تعریفی که از واژه تساوی کرده‎ایم اگر AB مساوی AC باشد،  ABC اساساً‌یک مثلث نخواهد بودبلکه تنها یک پاره خط است. به جای آن می‎گوییم: «اگر AB  قابل انطباق با AC باشد،  ABC متساوی الساقین است». این کاربرد از اصطلاح تعریف نشده قابل انطباق کلیتر از مفهومی است که شما به آن عادت کرده‎اید. و این نه تنها برای مثلثها، بلکه برای زاویه‎های و پاره خطها هم به کار برده خواهد شد. برای اینکه بفهمید این واژه را در کجا باید به کار ببرید چنین تجسم کنید که اشیاء قابل انطباق «شک و اندازه‎شان یکی است».
البته باید تصریح کنیم (همان کاری را که اقلیدس در «بنداشت علوم متعارفه» کرد) که «یک شیء با خودش قابل انطباق است» و «شیءهای قابل انطباق با یک شیء، خودشان با هم قابل انطباق‎اند». احکامی از این قبیل را بعداً در میان بنداشتهای قابلیت انطباق (فصل سوم) خواهیم گنجانید.
فهرست، اصطلاحات هندسی تعریف نشده‎ای را که در بالا آوردیم متعلق به داوید هیلبرت  است. وی در کتابش به نام مبانی هندسه (۱۸۹۹) نه تنها تعاریف اقلیدس را روشن ساخت بلکه شکافهایی را هم که در برخی از براهین اقلیدس وجود داشت پرکرد. هیلبرت دریافت که برهان اقلیدس از ملاک «دو ضلع و زاویه بین آنها» برای قابلیت انطباق مثلثها براساس فرضی بیان نشده (اصل برهمنش) بنا نهاده شده است و این ملاک را باید یک بنداشت به شمار آورد. هیلبرت همچنین از کتاب موریتس باش،  که در ۱۸۸۲ نخستین کتاب دقیق در هندسه را منتشر کرده بود، استفاده کرد. پاش فرضهای بیان نشده اقلیمی در باب «میانبود » را صریح ساخت. از جمله ریاضیدانانی که تلاش کرد‎ه‎اند تا بنیاد محکمی برای هندسه اقلیدسی بریزند باید از: ج.پئانو ، م.پیری ، ورونز ، ا.ویلن ، ربینسون ، ا.و هنتینگتن  و فوردر  نام برد. هر یک از این ریاضیدانان صورتی از اصطلاحات تعریف نشده را به کار می‎برد که با فهرست اصطلحات تعریف نشده هیلبرت تفاوت دارد. مثلاً، پیری تنها به دو اصطلاح تعریف نشده اکتفا کرده است و در نتیجه، بنداشتهای او پیچیده‎تر شد‎ه‎اند.
چهار اصل اول اقلیدس
اقلیدس هندسه خود را براساس پنج فرش بنیادی به نام بنداشت یا اصل موضوع  بنا نهاد.
اصل اول اقلیدس. به ازای هر نقطهP و هر نقطهQ که با Pمساوی نباشد خط یکتایی مانندl وجود دارد که برP وQ می‎گذرد.
این اصل اغلب به صورت غیر رسمی چنین بیان می‎شود: هر دو نقطه یک خط منحصر به فرد را مشخص می‎سازند. ما یگانه خط مار بر نقاطP وQ را با  نشان می‎دهیم.
برای بیان اصل دوم به تعریف زیر نیاز داریم:
تعریف دو نقطه AوB داده شده‎اند. پاره خط ABمجموعه‎ای است که اعضای آن نقاطA وB و همه نقاطی هستند که بر  میانA وB قرار دارند. دو نقطه مفروض AوB دو سر پاره خط AB  نامیده می‎شوند.
اصل دوم اقلیدس. به ازای هر پاره خط AB و هر پاره خط CD نقطه منحصر به فردی

چون E وجود دارد چنانکه B میان A و E واقع است و پاره خط CD با پاره خط BE، قابل انطباق است.

این اصل اغلب به طور غیر رسمی چنین بیان می‎شود: «هر پاره خط AB را می‎توان به اندازه پاره خط BE، که با پاره خط داده شده CD قابل انطباق است، امتداد داد.» توجه کنید که در این اصل ما اصطلاح تعریف نشده «قابل انطباق» را به روش تازه مذکور در بالا به کار برده‎ایم و برای بیان این امر که CD قابل انطباق با BE است از علامت متداول   استفاده می‎کنیم.
برای بیان اصل سوم باید تعریف دیگری را وارد کنیم:
تعریف. دو نقطه O و A  داده شده‎اند. مجموعه همه نقطه‎هایی مانند ‍P به طوری که پاره خط OP قابل انطباق با پاره خط OA باشد دایره به مرکز O نامیده می‎شود، و هر یک از پاره خطهای OP یک شعاع این دایره نام دارد.
از بنداشت قابلیت انطباق که پیش از این به آن اشاره کردیم (هر چیز با خودش قابل انطباق است) نتیجه می‎شود که  . پس A نیز نقطه‎ای است بر دایره‎ای که هم اکنون تعریف کردیم.

اصل سوم اقلیدس به ازای هر نقطه O و هر نقطه A که با O مساوی نباشد دایره‎ای به مرکز O و شعاع OA وجود دارد.
در حقیقت، چون ما زبان مجموعه‎ها را بیشتر از زبان اقلیدس به کار می‎‏بریم، واقعاً لزومی به فرض این اصل نیست. این اصل نتیجه‎ای است از نگره مجموعه‎ها که می‎گوید: مجموعه نقطه‎هایی نظیر P وجود دارد چنانکه برای آنها  . اقلیدس در ذهن خود ترسیم دایره‌به مرکز O و شعاع OA می‎اندیشید. و این اصل به ما می‎گوید که چنین ترسیمی،‌مثلاً با پرگار، مجاز است. همچنین، در اصل دوم شما مجازید پاره خط AB را به کمک رسم پاره خط BE با یک خطکش نامدرج (ستاره) امتداد دهید. این نحوه بیان ما موجب «پیرایش» اثر اقلیدس از هرگونه ارجاع به ترسیم می‎شود.
تعریف. نیمخط   عبارت از مجموعه نقاط واقع بر   که به پاره خط AB تعلق داشته باشند و همه نقاطی نظیر C چنان باشند که B میان A و C قرار داشته باشد. اصطلاحاً می‎گویند نیمخط   از A خارج شده و جزئی است از  .

تعریف. نیمخطهای   و   را متقابل گوییم، هرگاه متمایز باشند و از یک نطقه A خارج شوند و جزئی از یک خط   باشند.

تعریف. یک زاویه به رأس A عبارت است از نقطه A و دو نیمخط   و   (به نام ضعلهای زاویه) که از نقطه A  خارج شده‎اند و متقابل نیستند.

ازن زاویه را با   یاBAC  یا CAB  نشان می‎دهیم.
تعریف. هرگاه دو زاویه BAD  و CAD  در ضلع AD مشترک باشند و دو ضلع دیگر AB و AC آنها نیمخطهای متقابل باشند مکمل یکدیگرند یا زاویه‎های مکمل‎اند.

تعریف. زاویه BAD  را قائمه گویند هرگاه مکملش زاویه‎ای قابل انطباق با آن باشد.
بدین ترتیب ما توانستیم زاویه قائمه را بدون توسل به «درجه» با استفاده از مفهوم تعریف نشده قابلیت انطباق زاویه‎ها تعریف کنیم. «درجه» به طور رسمی تا پیش از فصل چهارم تعریف نخواهد شد، ولی گاه و بیگاه تنها در بحثهای غیر رسمی به آن اشاره خواهیم کرد.

اکنون می‎توانیم اصل چهارم اقلیدس را بیان کنیم.
اصل چهارم اقلیدس. همه زوایای قائمه با یکدیگر قابل انطباق‎اند.
این اصل مبین نوعی همگنی است. هر چند دو زاویه قائمه ممکن است از همدیگر «بسیار دور» باشند با وجود این «یک اندازه» دارند. لذا این اصل معیاری طبیعی برای اندازه‎گیری زاویه‎ها در اختیار ما می‎گذارد.
اصل توازی
چهار اصل اول اقلیدس همیشه براحتی مورد قبول ریاضیدانان بوده است. ولی اصل پنجم (اصل توازی) تا سده نوزدهم سخت موجب جدل و چون و چرا بوده است. در واقع، چنانکه بعداً خواهیم دید، توجه به صورتهای مختلف اصل توازی اقلیدسی است که موجب بسط و توسعه هندسه‎های نااقلیدسی شده است.
در اینجا بیان اصل پنجم را به صورت اصلی، بدان‎ گونه که در اصول آمده است، بیان نمی‎کنیم. دلیلش این است که (اگر بخواهیم از دشواریهای نالازم اجتناب کنیم) باید اصطلاحات خود را بسیار دقیق تعریف کنیم. برای وضوح بیشتر، قبلاً در نحوه عرضه کردن مطالب اقلیدس تغییراتی داده‎ایم، مثلاً پاره خط‎‏ها (با زاویه‎ها) را به جای اینکه «مساوی» بگوییم «قابل انطباق» گفته‎ایم. تعریف همه اصطلاحات مورد نیاز برای اینکه بتوانیم صورت اصلی اصل پنجم اقلیدس را به نحوی قابل فهم بیان کنیم ما را از مرحله خیلی دور می‎کند، پس بیان آن را تا فصل چهارم به تعویق می‎اندازیم.
به جای آن، اصل ساده‎تری را (که بعداً نشان خواهیم داد با خود اصل پنجم اقلیدس منطقاً هم‎ارز است) عرضه خواهیم کرد. این صورت تازه معمولاً اصل پلی فیر  نامیده می‎شود، که در کتاب هندسه اقلیدسی که به توسط جان پلی فیر تهیه گردید و در ۱۷۹۵ چاپ شده عرضه گردیده است. هرچند پروکلوس (۴۱۰-۴۸۵٫م) خیلی پیش از او به آن اشاره کرده است. ما آن را اصل تتوازی اقلیدسی خواهیم نامید، زیرا که این اصل هندسه اقلیدسی را از هندسه‎های دیگری که براساس نوعی اصل توازی بنا شده‎اند متمایز می‎سازد. مهمترین تعریف در کتاب حاضر تعریف زیرین است:
تعریف. دو خط l و m موازی‎اند هر گاه همدیگر را نبرند، یعنی نقطه‎ای پیدا نشود که بر هر دو خط واقع باشد. این امر را با   نمایش می‎دهیم.
اولا توجه داشته باشید که فرض ما این است که خطها در یک صفحه قرار داردند (زیرا که بنا بر قرارداد، همه نقطه‎ها و خطها در یک صفحه واقع‎اند مگر اینکه خلاف آن تصریح شود). ثانیاً توجه کنید که این تعریف چه نمی‎گوید: نمی‎گوید که دو خط به یک فاصله از یکدیگراند، یعنی نمی‎گوید که فاصله بین دو خط در همه جا یکی است. از رسم دو خط موازی که در آن خطها بظاهر متساوی الفاصله‎اند گمراه نشوید. ما در اینجا می‎خواهیم دقیق باشیم، پس نباید مفروضاتی را که بصراحت بیان نکرده‎ایم در برهان خود وارد سازیم. ضمناً فوراً نتیجه نگیرید که خطهای موازی متساوی الفاصله نیستند. ما خود را به هیچیک از این وسوسه‎ها تسلیم نمی‎کنیم و داوری را برای بعد از موقعی می‎گذاریم که موضوع را بدقت مطالعه کرده باشیم. در اینجا تنها چیزی که از آن اطمینان داریم این است که دو خط موازی همدیگر را نمی‎برند.
اصل توازی اقلیدسی به ازای هر خط l  و هر نقطه p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانکه از p می‎گذرد و با l موازی است.
چرا این اصل باید تا این اندازه مایه جدل باشد؟ این اصل ممکن است در نظر شما «بدیهی» جلوه کند، شاید به این علت که در شرایطی بوده‎اید که می‎بایستی طبق مفاهیم اقلیدسی فکر کنید. اما اگر ما اصول هندسه را انتزاعهایی از تجربه انگاریم، می‎توانیم تفاوت اساسی میان این اصل و چهار اصل دیگر را دریابیم. دو اصل اول از تجربیات ما در باره رسم با یک ستاره منتزع شده‎اند، اصل سوم از تجربیات ما در رسم با پرگار ناشی می‎شود؛ اصل چهارم شاید به عنوان تجریدی با بداهت کمتر در نظر آید، ولی این اصل هم از تجربیات ما در باره اندازه‎گیری زاویه‎های با تفاله نتیجه می‎شود (که در این اندازه‎‏گیری مجموع دو زاویه مکمل ْ۱۸۰ است و اگر دو زاویه مکمل با یکدیگر قابل انطباق باشند اندازه هر یک باید ْ۹۰ باشد).

اصل پنجم با هر چهار اصل فوق متفاوت است. بدین معنی که نمی‎توانیم به طور تجربی تحقیق کنیم که آیا دو خط همدیگر را می‎‏برند یا نه. زیرا که ما فقط پاره‎ خطها را می‎توانیم رسم کنیم نه خطها را. می‎توانیم پاره‎خطها را بیش از پیش امتداد دهیم تا ببینیم که آیا همدیگر را می‎برند یا نه؛ ولی نمی‎توانیم آنها را تا بینهایت امتداد دهیم. تنها وسیله ما این است که توازی را به طور نامستقیم با استفاده از ملاک دیگری غیر از تعریف فوق تحقیق کنیم.
چه ملاک دیگری برای توازی lوm می‎تواند وجود داشته باشد؟ اقلیدس فکر رسم خطی مانند t متقاطع با lوm (در دو نقطه متمایز)، و اندازه‎گیری عده درجات زاویه‎های درونی  و ، واقع در یک طرف t را عرضه کرد. اقلیدس پیش‎‏بینی کرد که هرگاه مجموع زاویه‎های   و  کمتر از ْ۱۸۰ باشد، دو خط l وm (اگر به اندازه کافی امتداد داده شوند) یکدیگری را در یک طرف t، در همان طرف زاویه‎های   و  می‎‏برند. در واقع محتوای اصل موضوع پنجم اقلیدس همین است.

اشکالی که در این ملاک توازی وجود دارد این است که ]این ملاک[ مبتنی بر فرضی است، که در واقع، با اصل توازی که در بالا ذکر کردیم منطقاً هم ارز است (هم ارزی اصول توازی-فصل چهارم). پس برای متقاعد ساختن خود به صحت اصل توازی، نمی‎توانیم از این ملاک – که به دور در استدلال منجر می‎شود – استفاده کنیم. خود اقلیدس از ماهیت چون و چرادار اصل توازی آگاهی داشته است. زیرا که استفاده از آن را تا آنجا که می‎توانسته (تا اثبات بیست و نهمین قضیه خود) به تأخیر انداخته است.
تلاش برای اثبات اصل توازی
به یاد بیاورید که اساساً منظور از اصل موضوع (بنداشت) اصلی بود آنچنان ساده و بدیهی که هیچ کس نتواند در درستی آن تردید کند. ولی، اصل توازی از همان آغاز، به این عنوان که خصوصیات یک فرض اثبات نشده را دارا نیست، مورد حمله قرار گرفت. ریاضیدانان در طول دو هزار سال تلاش کردند تا آن را از چهار اصل دیگر نتیجه بگیرند و یا اصل دیگری را که به خودی خود بداهت بیشتری داشته باشد جانشین آن سازند. همه تلاشها برای اینکه آن ار از چهار اصل دیگر نتیجه گیرند به ناکامی انجامید. زیرا آنچه را که اصطلاحاً برهان می‎نامیدند همیشه متضمن فرضی نهائی بود که درستی آن قابل اثبات باشند منجر به اصولی می‎شد که به طور منطقی یا اصل توازی هم‎ارز بودند و بالمآل از این جانشینها هم نتیجه‎ای عادی نمی‎شد. ما این تلاشها را که بسیار آموزنده‎اند در فصل پنجم به تفصیل بررسی خواهیم کرد. اکنون به یکی از آنها می‎پردازیم.
آدرین ماری لژاندر
چنان به خود مشغول کرده بود که در طی ۲۹ سال چند بار اصول هندسه ‎‏اش را تجدید چاپ کرد و در هر برا به یکی از کوششهای تازه‎اش در مورد اصل توازی را در آن درج نمود.

در اینجا به ذکر یکی از کوششهای او می‎پردازیم:

نقطه p که بر خط l نیست داده شده است. از P عمود PQ را بر l وارد می‎آوریم (Qپای عمود) و فرض می‎کنیم m خطی باشد که از P بر   عمود شده باشد. پس m با l موازی است، زیرا که l و m دارای یک عمود مشترک   هستند. فرض می‎کنیم n خط دلخواهی غیر از m و   باشد که از p رسم شده است. باید نشان دهیم که خط n خط l را می‎برد. فرض می‎کنیم   نیمخطی از n میان   و یک نیمخط m که از p خارج شده است باشد. نقطه‎ای مانند َR در آن طرفی از   که R در آن نیست وجود دارد چنانکه   پس Q درون   قرار دارد. چون خط l از نقطه Q درون   می‎گذرد، باید یکی از اضلاع این زاویه را ببرد. اگر l ضلع   را ببرد، مطمئناً n را هم خواهد برید. فرض کنید l ضلع   را در نقطه A ببرد، و B تنها نقطه‎ای بر ضلع   باشد چنانکه  ، پس   (ض ز ض). بنابراین   قائمه است و از آنجا B بر l و (وn) قرار دارد.
ممکن است این احساس به شما دست دهد که این برهان به اندازه کافی پذیرفتنی است با این حال چگونه می‎توانید بگویید درست است؟ باید درستی هر مرحله را اول با تعریف دقیق هر اصطلاح اثبات کنید – مثلاً، باید معنی «عمود بودن) دو خط را تعریف کنید – والا چگونه می‎توانید درستی ادعای موازی l و m را، صرفاً به سبب یک عمود مشترک داشتن، بپذیرید؟ (باید اول، اگر بتوانید، آن را به عنوان یک قضیه جداگانه اثبات کنید). بایستی درستی ملاک قابلیت انطباق (ض ز ض) را در آخرین حکم قبول کنید. باید «درون» یک زاویه را تعریف و ثابت کنید خطی که از درون یک زاویه می‎گذرد باید یکی از اضلاع آن را ببرد. در اثبات همه این چیزها باید خاطر جمع باشید که تنها از چهار اصل اول استفاده می‎کنید و از هیچ جکمی، هم ارز اصل پنجم، کمک نمی‎گیرید والا گرفتار برهان دوری می‎شوید.
بدین ترتیب پیش از آنکه بتوانیم نقایص را پیدا کنیم باید کارهای زیادی انجام دهیم. ما این کار مقدمات را در چند فصل بعد انجام خواهیم دارد تا بتوانیم با اطمینان خاطر بگوییم که برهان  پیشنهادی لژاندر صحیح است یا نیست. (برهان لژندر شامل چند حکم است که نمی‎تواند آنها را به کمک چهار اصل اول ثابت کرد.) در نتیجه بهتر خواهیم توانست مبانی هندسه‌ اقلیدسی را بفهمیم. خواهیم دید که قسمت اعظم این هندسه مستقل از نگره‌ توازی است و در هندسه هذلولوی نیز درست است.
تمرینات دورهای
کدامیک از احکام زیرین درست است
(۱)اصل توازی اقلیدسی بیان می کند به ازای هر خط l و هر نقطه p غیرواقع بر l خط منحصر به فردی مانند m وجود دارد که بر P می گذرد و با l موازی است .
(۲)«زاویه » به عنوان فضای بین دو نیمخطی تعریف می شود که از یک نقطه مشترک خارج شده باشند.
(۳)بیشتر نتیجی که در صاول اقلیدس آمده توسط خود اقلیدس ک شف شده است .
(۴)بناب ر تعریف ، خط m زماین که با خط l «موازی » است که به ازای هر نقطه P و Q واقع بر m فاصله عمودی P از l برابر فاصله عمودی Q از l باشد
(۵)لزومی نداشت که اقلیدس اصل توازی را کشف کند زیرا ریاضیدان فرانسوی ، لژاندن آن را ثابت کرده بود
(۶)«قاطع» نسبت به دو خط ، خطی را گویند که هر دوی آنها را در نقاط متمایز ببرد.
(۷)بنا به تعریف ، یک «زاویه قائمه » زاویه ای است ۹۰ درجه
(۸)«بنداشتها » یا « اصول » احکامی هستند که پذیرفته می شوند بی آنکه درستی آنها بعدا اثبات شود ، در حالی که «قضایا» یا «گزاره ها » احکامی هستند که با استفاده از بنداشتها ثابت می شوند .
(۹)  را «عدد گنگ » می نامیم زیرا نمی تواند به صورت خارج قسمت دو عدد درست بیان شود .
(۱۰)یونانیهای قدیم اولین افرادی بودند که برای اطمینان از درستی احکام ریاضی در اثبات آنها پافشاری می کردند .
تمرینات
در تمرینهای ۱ تا ۴ از شما خواسته شده است که بعضی از اصطلاحهای آشنای هندسی را تعریف کنید . این تمرینها برای دوره کردن این مفاهیم است  و همچنین تمرینی است برای بینان دقیق تعاریف . هنگامی که چیزی را تعریف می کنید می توانید ، از پنج اصطلاح تعریف نشده هندسی و همه اصطلاحات هندسی دیگری که تاکنون در متن یا در تمرینهای پیشین تعریف شده اند استفاده کنید .
در برخی موراد پیدا کردن یک تعریف مستلزم اندکی تفکر است . مثلا چگونه می خواهید تعامد را برای دو خط l  و m همدیگر را می برند و در نقطه برخورد زاویه قائمه می سازند .» از مفهومهای «می برند» و «زاویه قائمه » مجازیم استفاده کنیم زیرا که این اصطلاحات قبلا تعریف شده اند ولی معنی این حکم که دو خط با هم زاویه قائمه می سازند چیست ؟ بدیهی استب رای نشان دادن منظور خود می توانیم از رسم شکل استفاده کنیم ولی مسئله این است برای نشان دادن منظور خود می توانیم از رسم شکل استفاده کنیم ولی مسئله این است که باید مضووع لفظا تنها با استفاده از اصلاحاتی که قبلا تعریف شده اند بیان شود . بنا به تعریف صفحه ۱۳ زاویه از دو نیمخط نامتقابل که از یک راس خارج می شود تشکیل شده است . لذا می توانیم l و m را عمود بر هم تعریف کنیم هر گاه در یک نقطه a همدیگر را ببرند و نیمخطی مانند     بر l و نیمخطی مانند   بر m وجود داشته باشند

چنانچه     زاویه قائمه باشد . این تعامد را با نماد m  l نشان میدهیم
۱-اصطلاحات زیر را تعریف کنید :
(أ‌)نقطه M وسط پاره خط AB
(ب‌)عمود منصف پاره خط AB (می توانید از اصطلاح «وسط » که همین الان آن را تعریف کردید استفاده کنید .
(ج) نیمخط  نمیساز     نقطه مفروض D بین A و C است )
(د) نقاط C.B,A بر یک خط هستند
(هـ) خطوط L و m و n مقارب اند

۲-اصطلاحات زیرین را تعریف کنید :
(أ‌)مثلث ABC   که از سه نقطه C.B.A که بر یک خط واقع نیستند تشکیل شده اند
(ب‌)راسهای اضلاع و زاویه های ABC  
(ج) اضلاع مقابل به و مجاور به راس A از ABC 
(د) میانه های یک مثلث
(هـ) ارتفاعات یک مثلث
(و) مثلث متساوی الساقین ، قاعده آن و زاویه های مجاور به قاعده آن
(ز) مثلث متساوی الاضلاع
(ح‌)مثلث قائم الزاویه

۳- چهار نقطه c,b.a که هیچ ۳ تایی از آنها بر یک خط نیستند طوری داده شده اند که هر جفت از پاره خطهای AB و BC و CD DA    یا نقطه مشترکی ندارند و یا فقط در یکی از دو سر مشترک هستند حال میتوانیم چهار ضلعی ABCD      را چینین تعریف کنیم که از چهار پاره خط یاد شده درست شده و این چهار پاره خط اضلاع حروف مهم است . مثلا ABCD      ممکن است چهار ضعلی نباشد بدین معنی که ممکن است AB CD را ببرد اگر بخواهیم ABCD    معرف یک چهار ضعلی باشد این چهار ضلعی همان چهار ضلعی ACDB     نخواهد بود کدام جا یگشت از جایگشتهای چهار حرف A , B , C  و D همان چهار ضعلی ABCD     را به وجود میآورد ؟)

 با استفاده از این تعریف مفاهیم زیر را تعریف کنید :
(أ‌)زاویه های ABCD      
(ب)اضلاع مجاور ABCD       
(ج) اضلع روبرو در ABCD
(د‌)قطرهای ABCD
۴-زاویه های متقابل به راس راتعریف کنید چگونه می خواهید ثابت کنید که زاویه های متقابل به راس بریکدیگر قابل انطباق اند (فقط طرح اثباتی را بریزید – واردجزئیات نشوید .)

۵- با استفاده از یک بنداشت قابل انطباق (صفحه ۱۱)  حکم زیر را ثابت کنید : هر گاه P  و Q دو نقطه دلخواه از دایره به مرکز o و شعاع OA باشند آنگاه   
۶- (آ) دو نقطه A و B و یک نقطه سوم C میان آنها داده شده است (توجه داشته باشدی که واژه میان اصطلاحی است تعریف نشده آیا می توانید راهی پیدا کنید که از روی اصول بتوانید ثابت کنید C بر    واقع است
(ب ) فرض می کنیم که توانستید ثابت کنید C بر   قرار دارد آیا می تواندی از روی تعریف «نیمخط » و اصول ثابت کنید که   =   ؟
۷- هر گاه S و T دو مجموعه باشند ، اجتماع    و اشتراک   آنها چنین تعریف می شوند :
(اول ) یک شی را متعلق می شمارند اگر ، و تنها اگر به S یا به T ( یا به هر دوی آنها ) متعلق باشد
(دوم) یک شی را متعلق به    می شمارند اگر و تنها اگر هم به S و هم به T متعلق باشد
دو نقطه A و B داده شده اند . دو نیمخط    و   را در نظر می گیریم . نموداری رسم کنید که نشان دهد   =      و AB     چه بنداشتهای دیگری درباره اصطلاح تعریف نشده «میان » می بایستی فرض کنیم تا بتوانیم این تساویها را ثابت کنیم ؟
۸- برای اینکه نیاز به تعریف دقیق را بیشتر نشان دهیم تعریفهای زیرین را کهب رای «مستطیل » ممکن هستند در نطر می گیریم :
(اول ) یک چهار ضلعی با چهار زاویه قائمه
(دوم ) یک چهار ضلعی که همه زوایایش ب هم قابل انطباق باشند
(سوم ) متوازی الاضلاعی که لااقل یک زاویه قائمه داشته باشد

۹- آیا می توانید راهی بیندیشید که به کمک اصول ثابت کنید که به ازای هر خط l :
(أ‌)نقطه ای واقع بر l وجود دارد؟
(ب‌)نقطه ای غیرواقع بر l وجود دارد؟
۱۰- آیا می توانید راهی بیندیشید که به کمک اصول ثابت کنید صفحه ناتهی است یعنی نقطه ها و خطها وجود  دارند ؟(با معلم خود این مسئله را مطرح کنید کهوقتی می گوییم موجودات ریاضی از قبیل نقطه و خط وجود دارند یعنی چه)
۱۱- آیا فکر می کنید که اصل توازی اقلیدسی «بدیهی » است ، دلایل خود را ضمن مقاله کوتاهی ذکر کنید
۱۲- آیا فکر می کنید که بتوان روش بنداشتی را برای موضوعهایی غیراز ریاضیات هم به کار برد ، آیا قانون اساسی ایلات متحده (به انضمام تمام اصلاحاتی که در آن شده است )فهرست بنداشتهایی است که دادگاههای فدرال روشهای قانونی خود را منطقا از آنها اقتباس می کنند ؟ آیا فکر می کنید «حقایقی » که در اعلامیه استقلال تاکید شده اند خود بخود «بدیهی » هستند ؟
۱۳- تفسیری بر کاربرد روش بنداشتی اسپینوزا بنویسید که نامبرده آن را در ۱۶۷۵ در کتابی تحت عنوان زیر نوشته است قوانین اخلاقی که بر ترتیب هندسی اثبات و به پنج جز تقسیم شده اند جز اول در خدا جز دوم در ماهیت و منشا ذهن ، جز سوم در ماهیت و منشا ء عواطف جز چهارم در قیود انسان یا نیروی عواطف و جز پنجم در نیروی خود یا آزادی انسان ( قسمت عمده نظر خود را به جزء های چهارم و پنجم اختصاص دهید خود یا آزادی انسان (قسمت عمده نظر خود را به جزء های چهارم و پنجم اختصاص دهید )
۱۴- تفسیری بر این پرسش که مفیستوفلز از فاوست کرده است بنویسید : «می پرسم ، آیا درست است ، حتی آیا عاقلانه است که هم خودت و هم دانشجویانت را کسل کنی ؟»
تمرینهای اصلی
۱-در این دسته از تمرینه می خواهیم حل چند مسئله اساسی اقلیدسی را از راه ترسیم با پرگار و ستاره از نظر بگذرانیم این گونه ترسیمها از دوران یونان قدیم تا سده نوزدهم که سرانجام همه مسائل ترسیمی کهن حل شدند ریاضیدانان را شیفته خود ساخته بودند .
(أ‌)پاره خط AB داده شده است عمود منصف آن را رسم کنید .(راهنمایی : همان گونه که در شکل  نشان داده شده است AB را به صورت قطری از یک لوزی در آورید .

 (ب) خط l و یک نقطه P ناواقع برآن داده شده اند از P  خطی عمود بر l رسم کنید
(ج)خط l و یک نقطه P ناواقع بر آن داده شده اند . از P خطی رسم کنید که بر L عمود باشد . (راهنمایی :مثلث متساوی الساقین abp   را که قاعده  ab آن برi باشد بسازید و از (آ) استفاده کنید.)
(د) خط I و یک نقطه p ناواقع بر آن داده شده اند ازp   خطی به موازات I رسم کنید .(راهنمایی: از (ب) و (ج) استفاده کنید )
(ه) نیمساز یک زاویه را رسم کنید .(راهنمایی: از این قضیه اقلیدس که عمود منصف قاعده مثاث متساوی الساقین نیمساز زاویه روبرو به قاعده آن است استفاده کنید.)
(و) مثلث  abc  و پاره خط   داده شده اند . در یک طرف مفروض   نقطه ای مانند f چنان پیدا کنید که     .
(ز) زاویه   و نیم خط   داده شده اند . نقطه ای مانند  f در یک طرف مفروض  چنان پیدا کنید که   .
۲٫ اقلیدس پر گار را فرو ریختنی ۱ فرض می کرد . یعنی اگر دو نقطه pوq داده شده باشد پرگار نمی تواند دا یره ای به مرکز p بکشد که بر q بگذرد ( اصل سوم ) : و لی ، نوک پرگار نمی تواند به مرکز دیگر o برده شود و داغ یرهخ ای با همان شعاع رسم کند . و قتی نوک پرگار حرکت داده شد، پرگار فرو می ریزد . ترسیمهای مربوط به تمرین ۱ را بررسی کنید و ببنید که آیا می شود آنها را با پرگاری فرو ریختنی رسم کرد ؟ ( در این تمرینها و قتی می گو ئیم خطی (( داده شده )) است منظور این است که دو یا چند نقطه بر آن داده شده اند .)
(أ‌)سه نقطه p، qوr داده شده اند با یک ستاره و یک پرگار فرو ریختنی مستطیل pqst  به ضلع rq را چنان بکشید که :   ( ش ۲۵۰۱) .

(ب‌)پاره خط  و نیم خط  داده شده اند . نقطه  c را بر  پیدا کنید چنانچه  .( راهنمایی: با استفاده از (آ) مستطیل   را بکشید ، سپس دا یره ای به مرکز a  رسم کنید چنانکه از s بگذرد.)
تمرین (ب) نشان می دهد که شما می توانید پاره خطها را با یک پرگار فرو ریختنی و یک ستاره انتقال دهید. پس  می توانید همه ترسیمها را چنانکه گو یی پرگار ((فرو ریختنی )) نیست انجام دهید .
۳٫ خطکشی که در تمرینها پیشین به کار بردید نامدرج فرض شده بود ( اگر هم مدرج بود فرض این بود که مجاز نبو ده اید از درجه بندی استفاده کنید ). اما اکنون فرض می کنیم که بر این خط کش دو نشانه طوری گذاشته شده باشند که فا صله ای مانند d را مشخص سازند. ارشمیدس نشان داده است که چگونه می توانیم یک سوم زا ویه ای ر رسم کنیم:
اگر زا ویه ای به راس o داده شده باشد، یک دایره  به شعاع d و به مرکز o رسم می کنیم تا اضلاع این زا ویه را در نقاط aوb ببرد. حال خطکش را چنان قرار می دهیم که یکی از نشانه های آن نقطه ای مانند c اتز خط  را به دست دهد چنانکه o میان aو c قرار گیرد ، و نشانی دیگر در نقطه ای مانند d بر دایره واقع شود و در عین حال اکتداد خطکش از b بگذرد . ثابت کنید  که بدین ترتیب به دست می آید یک سوم زا ویه  است.(را هنمایی : از قضایای اقلیدس در باب زا ویه ای خارجی مثلث متساوی الساقین استفاده کنید.)

۴٫ عدد  را یو نانیان نسبت زرین می نامیدند ، و مستطیلی را که نسبت اضلاعش چنین بود مستطیل زرین می خواندند. ثابت کنید که مستطیل زرین را می توان با پرگار و ستاره با ترتیب زیر رسمکرد:
(أ‌)رسم یک مربع abcd .
(ب‌)پیدا کرئن نقطه m وسط ab.
(ت‌)پیدا کردن نقطه e میان aو e باشد و  .
(ث‌)پیدا کردن نقطه f پای عمود مرسوم از e بر dc.
(ج‌)آنگاه aefd  مستطیل زرین است ( از قضیه فیثاغورس در   استفاده کنید.)
(ح‌)بعلاوه befc مستطیل زرین دیگری است ( ابتدا نشان دهید p=p-1/1 ( .
حل دو تمرین بعدی مستلزم داشتن اطلاعاتی در زمیته مثلثات است.

۵٫ مصریان می پنداشتند که هر گاه طواهای اضلاع یک چهار ضلعی a،b،cوd باشد ، مساحت آن ،s، از دستور (A+c)(b+d)/4 به دست می آید . ثابت کنید که د ر واقع   4s<(a+c)(b+d) و تساوی تنها زمانی بر قرار است که چهار ضلعی مستطیل با شد .( را هنمایی: دو برابر مساحت مثلث مساوی است با  ، که در آن   زاویه میان دو ضلع به طولهای aوb است و . در اینجا هم تساوی تنها زمانی بر قرار است که  زا ویه قائمه باشد).
۶٫ به گونه ای مشلبه ثابت کنید که هر گاه طولهای اضلاع مثلثی a، bو cباشند ، مساحت آن درنا برابری زیر صدق می کند:
 
تساوی تنها زمانی بر قرار می شود که مثلث متساوی الساقین الاضلاع باشد ( راهنمایی: هرگاه   یعنی زا ویه میان bوc چنان انتخاب شده باشد که حداکثر ۶۰۰ باشد، آنگاه لاز دستورهای زیرین استفاده کنید:
 
چهار تمرین زیر به پژوهش در کتابخانه نیاز دارد.چ
۷٫ مقاله ای بنویسید و در آن بتفصیل بیان کنید که چرا تثلیت یک زاویه غیر مشخص یا تربیع دایره ، تنها با پرگار و ستاره غیر ممکن است ( ایوز و کوتوزوف و مویر) .
۸٫ اینک دو نتیجه مشهور دیگر از نگره ترسیمات هندسی:
(أ‌)گ. موهر ۱ ریاضیدان دانمارکی و ل.ماسکرونی۲ ایتالیایی مستقل از یکدیگر کشف کردند که همه ترسیمهای نقاط در هندسی اقلیدسی را می توان با یک پرگار تنها انجام داد. البته خط را نمی توان تنها با پرگار رسم کرد ، ولی می توان آن را با پیدا کردن دو نقطه اش به وسیله پرگار مشخص نمود. بدین معنی ، موهر و ماسکرونی نشان دادند که ستاره مورد لزوم نیست.
(ب‌)از سوی دیگر ، ی.اشتاینر۳ آلمانی و ژ.و.پونسله ۴ فرانسوی نشان دادند که کلیه ترسیمهای اقلیدسی را می توان تنها با یک ستاره انجام داد مشروط  بر اینکه ابتدا یک دایره و مرکزش داده شده باشند .
گزارشی در باب این دو کشف جالب تهیه کنید( ایوز و کوتوزوف ).
۹٫ مثلث غیر مشخص  داده شده است . از راس هر زاویه دو نیمخط رسم کنید که آن زا ویه را به سه بخش کنند اگر p،qوr نقاط تقاطع نیم خطهای مجاور با شند ثابت کنید(قضیه مورلی )۵  مثلثی است متساوی الاضلاع ( ش ۲۳۰۱ و((مقدمه ای بر هندسه ))اثر کاکستر ).
۱۰٫ این مسئله پژوهشی است که ممکن است جواب آن معلوم باشد، هر چند به آن

بر نخورده ام. آیا تعمیم زیبایی از قضیه مورلی برای مواردی که هر زاویه از مثلث به ۴، ۵
،۶، ……جزء برابر بخش شود وجود دارد یا نه؟ اگر به جای مثلث شکل دیگری نظیر ۴ ضلعی ، ۵ضلعی ،۶ضلعی وغیره داشته باشیم چطور؟

دانلود کتاب






مطالب مشابه با این مطلب

    علم احتمالات

    پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان روشی برای محاسبه شانس در بازی های شانسی بوده است. اگرچه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازی های شانسی و حتی در تقسیم […]

    سوالات سرشماری عمومی

    از این اطلاع برای مطالعه درباره ی ساختار خانوار  (هسته ای، گسترده، تک والد / والده و ….) که عامل مهمی در مطالعات جمعیتی است، استفاده می شود.    آیا مادر فرد، عضو همین خانوار است؟ (شماره ی ردیف مادر) …..

    درباره ی رشته ی ریاضیات
    مختصری درباره هندسه

    هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیات است. واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن […]

    دانستنیهای شیرین ریاضی

    در طی بیش از دو هزار سال، قدری آشنایی با ریاضیات، از معلومات ضروری هر شخص با فرهنگی به شمار می آمده است. امروز موقعیت سنتی ریاضیات نیز در این امر مسئول اند تدریس ریاضی گاهی به سطح آموزشی بی محتوا برای حل مسأله […]

    کاربرد علم آمار

    آمار علم و عمل توسعه دانش انسانی از طریق استفاده از داده‌های تجربی است. آمار بر نظریه‌ی آمار مبتنی است که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است. در نظریه‌ی آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریه احتمال مدل می‌شوند. عمل آماری، شامل برنامه‌ریزی، جمع‌بندی، […]




هو الکاتب


پایگاه اینترنتی دانلود رايگان كتاب تك بوك در ستاد ساماندهي سايتهاي ايراني به ثبت رسيده است و  بر طبق قوانین جمهوری اسلامی ایران فعالیت میکند و به هیچ ارگان یا سازمانی وابسته نیست و هر گونه فعالیت غیر اخلاقی و سیاسی در آن ممنوع میباشد.
این پایگاه اینترنتی هیچ مسئولیتی در قبال محتویات کتاب ها و مطالب موجود در سایت نمی پذیرد و محتویات آنها مستقیما به نویسنده آنها مربوط میشود.
در صورت مشاهده کتابی خارج از قوانین در اینجا اعلام کنید تا حذف شود(حتما نام کامل کتاب و دلیل حذف قید شود) ،  درخواستهای سلیقه ای رسیدگی نخواهد شد.
در صورتیکه شما نویسنده یا ناشر یکی از کتاب هایی هستید که به اشتباه در این پایگاه اینترنتی قرار داده شده از اینجا تقاضای حذف کتاب کنید تا بسرعت حذف شود.
كتابخانه رايگان تك كتاب
دانلود كتاب هنر نيست ، خواندن كتاب هنر است.

دانلود کتاب , دانلود کتاب اندروید , کتاب , pdf , دانلود , کتاب آموزش , دانلود رایگان کتاب


تمامی حقوق و مطالب سایت برای تک بوک محفوظ است و هرگونه کپی برداری بدون ذکر منبع ممنوع می باشد.


فید نقشه سایت

تمامی حقوق برای سایت تک بوک محفوظ میباشد