آيا مي دانيد همنهشتي در اعداد طبيعي به چه معناست ؟

شما از لحاظ قد در کدام دسته قرار می گیرید ؟ بلند ، متوسط یا کوتاه. مثلا اگر شما و دوستتان در دسته افراد با قد متوسط باشید شما دو نفر از لحاظ کمیت قد با هم برابرید. اگر از این به بعد با هم قرار بگذاریم که برابری دو انسان به معنی وجود آنها در یک دسته باشد آنگاه شما با دوستتان برابرید و در واقع همه افرادی که در دسته افراد با قد متوسط قرار دارند با هم برابرند.

حال می خواهیم نوعی برابری میان اعداد طبیعی تعریف کنیم.
از این به بعد دو عدد طبیعی را برابر (یا همنهشت) می گوییم هرگاه باقیمانده تقسیم آنها بر ۵ مساوی باشد. با این فرض مثلا ۶ و ۱۱ با هم مساویند !! چون باقیمانده تقسیم هر دو آنها بر ۵ برابر ۱ است. این مطلب را بصورت زیر نمایش می دهیم
۱۱=۶ (پیمانه ۵)

یکی از ساده ترین کاربرد های همنهشتی در شاخه ای از ریاضیات به نام “نظریه کدگذاری” ظاهر می شود. بعنوان مثال کد ISBN (International Standard Book Number( کتاب را در نظر بگیرید. فرض کنید کد ۰-۱۹-۸۵۹۶۱۷-۰ کد ISBN کتابی باشد. رقم اول این کد نشان دهنده زبانی است که کتاب با آن نوشته شده است دو رقم بعدی یعنی ۱۹ مشخص کننده ناشر آن و شش رقم ۸۵۹۶۱۷ شماره کتاب است و رقم آخر طوری انتخاب می شود که در رابطه
 

صدق کند. که در آن  رقم i-ام کد است.( اگر x=10 آنگاه از علامت X در کد استفاده می شود) به نظر شما علت وجود این رقم چیست ؟

تصمیم گیری با استفاده از برنامه ریزی چند معیاره

————————————————————————————————————————–
فرض کنید چند انتخاب و معیار هایی برای آنها پیش رو دارید. مثلا فردی را در نظر بگیرید که می داند (احتمالا) در رشته های ریاضی کاربردی ، مهندسی کامپیوتر ، مهندسی برق به ترتیب در شهر های مشهد ، کرمان و شاهرود پذیرفته خواهد شد.

او برای انتخاب بهترین مورد معیار هایی را در نظر می گیرد بعنوان مثال شهرت (دانشگاه) ، وجود آینده شغلی بهتر و مورد علاقه بودن.

اگر تعداد معیار ها کم باشد در تصمیم گیری چندان دچار مشکل نخواهیم شد. ولی در صورتی که تعداد معیار ها بیشتر شود تصمیم گیری دشوار بنظر می رسد.

برنامه ریزی چند معیاره روشی بسیار ساده است که شما را در انتخاب بهترین گزینه یاری می کند. برای آشنایی با این روش نیازی به اطلاعات اولیه زیادی نیست.

برای اینکه براحتی بتوانید از این روش استفاده کنید آن را بصورت الگوریتمی بیان می کنم.

۱٫ ابتدا انتخاب ها و معیار های خود را به دقت تعیین کنید. فرض کنید تعداد انتخاب ها m و تعداد معیار ها n باشد.
در اینجا انتخاب های ما رشته های ریاضی کاربردی (A) ، مهندسی کامپیوتر (B) و مهندسی برق (C) و معیار ها شهرت دانشگاه (T) ، وجود آینده شغلی بهتر (E) و مورد علاقه بودن (F) هستند. همچنین m=n=3(برای سادگی از این به بعد از نماد های داخل پرانتز برای اشاره به آنها استفاده می کنیم. مثلا می گوییم معیار T یا انتخاب B)

۲٫ برای هر معیار دلخواه مانند X ماتریسی m*m بنام ماتریس مقایسه آن معیار ایجاد می کنیم. این ماتریس بدین ترتیب تشکیل می شود که در درایه i-j ام آن میزان ارجحیت انتخاب i بر انتخاب j با توجه به معیار X قرار داده می شود. هر گاه درایه i-j ام ماتریس مقدار دهی شد درایه j-i ام برابر وارون درایه i-j ام مقدار دهی می شود. در ضمن قطر اصلی ماتریس برابر ۱ خواهد بود. می بینیم که در این قسمت سلایق شخصی افراد لحاظ می شود.

بعنوان مثال ماتریس های مقایسه را برای معیار های T ، E ، F در اینجا مشاهده می کنید.
 

و
 

و
 

( سطرها و ستون ها را به ترتیب انتخاب های ممکن در نظر بگیرید )

۳٫ حال برای هر ماتریس مقایسه یک ماتریس نرمال تشکیل می دهیم.درایه i-j ام آن از تقسیم درایه i-j ام ماتریس مقایسه X بر مجموع درایه های ستون بدست می آید. مثلا برای بدست آوردن درایه واقع در سطر اول و ستون اول ماتریس نرمال مربوط به معیار T ، ابتدا همه درایه های ستون اول را با هم جمع می کنیم و سپس درایه واقع در سطر اول و ستون اول ماتریس مقایسه را بر عدد بدست آمده تقسیم می کنیم
به ماتریس های نرمال شده زیر توجه کنید
 

 
 
۴٫ اینک برای هر انتخاب مانند S ، وزن آن در معیار X را برابر میانگین درایه های موجود در سطر مربوط به S در ماتریس نرمال شده X تعریف می کنیم.
مثلا
 
توجه کنید که مثلا  به معنی وزن انتخاب C نسبت به معیار T است.
تا این مرحله وزن هر کدام از انتخاب ها تعیین شده است. اما باید ارجحیت معیار ها نسبت به یکدیگر را نیز در این فرآیند تصمیم گیری وارد نمود. برای اینکار عملیاتی مشابه آنچه در ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ انجام شد را دنبال می کنیم. برای هر کدام از معیار ها یک وزن (ارزش ) تعیین می کنیم.

۵٫ ماتریس مقایسه معیار ها را که n*n است بصورت زیر می سازیم. معیارها را در سطرها و ستون ها در نظر بگیرید. درایه i-j ام این ماتریس برابر میزان ارجحیت معیار i نسبت به معیار j است. هر گاه درایه i-j ام مقدار دهی شد درایه j-i ام برابر وارون درایه i-j ام خواهد بود. همینطور قطر اصلی برابر ۱ است.
در این مثال ماتریس مقایسه معیار ها را بصورت زیر در نظر گرفتیم.
 

۶٫ ماتریس نرمال و وزن هر معیار مشابه آنچه در مراحل ۳و ۴ بیان شد بدست می آیند.
در این مثال داریم
 
و
 
۷٫ حال برای یافتن وزن کل یک انتخاب کافیست وزن آن انتخاب در معیارهای مختلف را در وزن هر معیار ضرب و سپس با هم جمع کنیم.
برای مثال وزن کل انتخاب A بصورت
 
است. وزن B و C نیز بطور مشابه محاسبه می شود.
 
می بینید که وزن کل B از سایر انتخاب ها بیشتر است بنابراین ، این فرد بهتر است رشته مهندسی کامپیوتر کرمان را برای ادامه تحصیل انتخاب کند

قدرت اعداد
________________________________________

سال ها پیش در یکی از کلاس های ریاضیات مدارس آلمان، آموزگار برای اینکه مدتی بچه ها را سرگرم کند و به کارش برسد؛ از آنها خواست تا مجموع اعداد از یک تا صد را حساب کنند. پس از چند دقیقه یکی از شاگردان کلاس گفت: مجموع این اعداد را پیدا کرده و حاصل عدد ۵۰۵۰ می شود. با شنیدن این عدد معلم با حیرت فراوان او را به پای تخته برد تا روش محاسبه خود را توضیح دهد. به نظر شما این شاگرد باهوش که بعدها یکی از بزرگ ترین و معروف ترین ریاضیدانان دنیا شد، چه روشی را به کار بست؟ او اعداد یک تا صد را به ردیف پشت سرهم نوشت، سپس بار دیگر همین اعداد را بالعکس، این بار از صدتا یک، درست در ردیف زیرین اعداد قبلی نوشت. طوری که هر عدد زیر عدد ردیف بالاتر قرار گرفت.وی مشاهده کرد که مجموع هر کدام از ستون های به وجود آمده ۱۰۱ است. سپس نتیجه گرفت که صد تا عدد ۱۰۱ داریم که حاصل مجموع آنها می شود ۱۰۱۰۰=۱۰۱*۱۰۰. پس از آن تنها کافی بود که این مجموع به دست آمده نصف شود یعنی:
۵۰۵۰=۲/۱۰۱۰۰

شاید «شارل فردریک گاوس» شاگرد با ذکاوت کلاس که این روش جالب را به کاربرد، آن هنگام نمی دانست، روش بسیار کارا و مفیدی را برای جمع بستن رشته ای از اعداد ارائه داده است که تا سالیان سال مورد استفاده ریاضیدانان خواهد بود.اکثر مفاهیم ریاضی به قدری با زندگی روزمره ما گره خورده است که تمام مردم بدون آگاهی داشتن و واقف بودن به آن، از کنارش می گذرند و تنها کاربر خوبی هستند و بس! حتماً تا به حال با این عبارات در رادیو، تلویزیون یا موارد مختلف دیگر برخورد کرده اید: «وزارت آب و یا وزارت نیرو اعلام کرده است که میزان پرداختی قبض ها به صورت تصاعدی بالا می رود و از مصرف کنندگان تقاضا نمود که نهایت صرفه جویی را درمصرف آن داشته باشند.» حتماً در بیشتر موارد نیز از اینکه هزینه مصرف آب یا برق شما بسیار گران شده است گله مند و شاکی بوده اید و بسیار تعجب کرده و یا شاید هم فکر کرد ه اید که اشتباهی رخ داده است! اما در واقع این چنین نبوده است. بلکه این وزارتخانه ها و جاهای دیگر از این قبیل با به کار بردن یک مفهوم ساده ریاضی که از روابط جالب بین اعداد نشات می گیرد، تلاش نموده اند با این روش اندکی از مصرف سرانه انرژی های مفید در کشور بکاهند. بسیاری از رشته های اعداد در ریاضیات از قاعده و قانون خاصی پیروی می کنند. بدین صورت که مثلاً هر عدد نسبت به عدد قبلی خود به اندازه ثابتی کاهش یا افزایش می یابد، به این رشته از اعداد تصاعد «عددی» (حسابی) گویند. برای مثال در رشته اعداد ۱، ۴، ۷، ۱۰، ۱۳ و … هر عدد نسبت به عدد قبلی خود سه واحد بیشتر است. حال رشته ای از اعداد را در نظر بگیرید که در آن هر عدد نسبت به عدد ماقبل خود به اندازه توان هایی از یک عدد ثابت افزایش یا کاهش یافته باشد. به این رشته از اعداد تصاعد «هندسی» گویند.

برای مثال رشته اعداد ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶ و… را در نظر بگیرید. اگر کمی دقت کنید متوجه می شوید که هر عدد نسبت به عدد قبلی خود، دو برابر شده است. به عبارت دیگر در این رشته از اعداد با توان هایی از عدد ۲ و یا اعداد دیگر مواجه هستیم.

یعنی :…و۲۴، ۳ ۲، ۲ ۲۲۱۲۰،، به ترتیب از چپ به راست می شود …و ۱۶، ۸، ۴، ۲۱،

اگر کمی حوصله کنید و با ما همراه باشید مثال ها و داستان های جالبی از خاصیت شگفت آور این رشته از اعداد خواهید خواند که حتماً متعجب می شوید.

در گذشته های دور، یکی از پادشاهان هندوستان به ازای یاد دادن سرگرمی خوبی به او، جایزه بزرگی تعیین کرد. می دانید که هندی ها در ابداع و اختراع روابط شگفت انگیز بین اعداد بسیار توانا هستند و تاریخچه بلندی در این زمینه دارند. روزی یکی از همین دانشمندان متبحر کار با اعداد، نزد پادشاه رفت و بازی شطرنج را به او آموخت. کسی چه می داند، شاید بازی شطرنج از همان زمان اختراع شده باشد.این مرد زیرک به ازای سرگرمی خوبی که به پادشاه آموخته بود از وی خواست تا به ازای ۶۴ خانه شطرنج به او گندم دهد. بدین ترتیب که از یک دانه گندم برای خانه اول آغاز کند و به هر خانه شطرنج که رسید تعداد دانه های گندم را نسبت به خانه قبل دو برابر افزایش دهد. مثلاً برای روز چهارم پادشاه می بایست تعداد ۱۶=۲۴ دانه گندم به مرد فاضل بدهد. مرد خردمند شرط کرد که در صورت عدم توانایی پرداخت این گندم ها از سوی پادشاه می باید تاج و تخت هندوستان را برای همیشه ترک کند. پادشاه نیز با کمال میل پذیرفت و در دل به بی خردی آن ناشناس خندید. مسلماً در روزهای اول مشکلی وجود نداشت. اما مشکل اصلی از آنجا شروع می شد که این اعداد به صورت شگفت آوری بزرگ می شدند. در روز دهم تعداد ۱۰۲۴=۲۱۰ دانه گندم باید پرداخت می شد که تعداد زیادی نیست. اما روز بیستم تعداد قابل ملاحظه ای می شود یعنی ۵۷۶/۰۴۸/۱=۲۲۰ دانه گندم. فکر می کنید وقتی که به روز آخر یعنی خانه شصت و چهارم برسید چه اتفاقی بیفتد. درست حدس زده اید پادشاه ما به ….=۲۶۴ دانه گندم نیاز دارد که این تعداد گندم با تمام دانه های شن و ماسه موجود بر روی زمین برابری می کند! در روزهای آخر این شرط تازه پادشاه هند متوجه شد که چه کلاه بزرگی سرش رفته است اما چاره ای جز کناره گیری از تاج و تخت نبود!مثال های بسیاری از این دست موجود است که به قدرت شگرف اعداد و بیشتر از آن به قدرت تفکر انسان هایی که راه سود بردن از آن را بدانند اشاره می کند

هندسه نااقلیدسى و نسبیت عام اینشتین
============================
در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالاى فکرى بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى کردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یک خط و تنها یک خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور کند.» هندسه «لباچفسکى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممکن است خط صافى که موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نکند و در هندسه «لباچفسکى» ممکن است بیش از یک خط از آن نقطه عبور کند. با اندکى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا که کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یک منحنى است.
هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد که هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسکى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد که نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیکدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مکان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مکان به جاى آن که صاف باشد منحنى است. نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشکارى میان ریاضیات محض و ریاضیات کاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است که به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه کاربردى، کاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه کاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند که بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حرکت، زمان و مکان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حرکت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده کرد. بدین منظور هندسه «ریمانى» را برگزید.
هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یک صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یک چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا کرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نور مستقیم نیست بلکه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است که سطح کرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى که بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى کوتاه ترین خطوط بین نقاط حرکت مى کند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مکان – زمان مى شود.
در نظریه نسبیت عام گرانش یک نیرو نیست بلکه نامى است که ما به اثر انحناى زمان _ مکان بر حرکت اشیا اطلاق مى کنیم. آزمون هاى عملى ثابت کردند که شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد که ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده کنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند که به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت که ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه کرد به طورى که شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى که اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند که پدیده هایى سازگار با زمان – مکان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است که نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوى «هنرى پوانکاره» ابراز شد. اما نظریه هایى که بدین طریق به دست مى آوریم ممکن است کاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل کافى براى رد آنها وجود دارد؟

معماهای جالب ریاضی
==========================

– کدام واژه ی فارسی بسیار معروف را نه تنها فارسی زبانان بلکه عضوهای انجمن بین الملی فارسی دوستان نیز بد تلفظ میکنند؟

-> خب معلومه کلمه بد

شما گرفتار یک قبیله ی ادم خوار شده اید میگویند یک جمله بگو اگر دروغ باشد اب پز خواهی شد و اگر راست باشد کباب خواهی شد . چه جمله ای خواهید گفت؟

-> تنها جمله هایی که شما را نجات میدهد:

من کباب نمیشوم یا من ابپز میشوم

– در عدد نویسیه رومی حرف X نشانه عدد ۱۰ و حرف I نشانه عدد ۱ است.اگر I پهلوی راست X نوشته شود به معنیه ۱+۱۰ و اگر I پهلوی چپ X نوشته شود به معنیه ۱- ۱۰ است اکنون اگر رابطه ی:

Xi+i=x

را روی یک صفحه کاغذ بنویسید به معنی ۱۱+۱=۱۰ و نادرست است بدون هیچ دستکاری در نوشته چه عملی را میتوانید انجام دهید تا این نوشته نشان دهنده ی رابطه ای درست باشد؟

->
******************صفحه ی کاغذ را سروته کنید*******************

– مجموع سه عدد متوالی ۱و۲و۳ مساوی حاصلصربشان هست . آیا سه تائی متوالی دیگری در میان اعداد صحیح وجود دارد که این خاصیت را داشته باشد ؟

->
* ۱ , ۰ , ۱- *

– ایا میدانید که به چند طریق میتوان ۲۰ جلد کتاب دایره المعارف را در ۲۰ قفسه مرتب کرد؟
به نظر کار ساده ای است؟پس بقیه اش را بخوانید:

ابتدا ۲۰ فاکتوریل را حساب میکنیم . میشود چیزی در حدود :
۲۴۳۲۹۰۲۰۰۸۱۷۶۶۴۰۰۰۰, …… عدد بزرگی است!!!

پس تقریبا به ۲٫۵ کوئینتلون طریق میتوان این کار را انجام داد.
حالا اگر در هر ثانیه یک روش را انجام دهیم ۷۷ بیلیون سال طول میکشد تا همه ی روشها را انجام دهیم!

معماهای جالب ریاضی
=============
– بازی شطرنج باچند نفر به طور هم زمان :

پسربچه ای به نام علی را در نظر میگیریم که در دبستان درس میخواند و استعداد ریاضی فوق العاده ای دارد ولی بازی شطرنج را بتازگی آغاز کرده و تنها می داند مهره ها را چگونه باید حرکت داد . در عوض ۲ فرد دبیرستانی به نامهای محسن و حسن ، افرادی هستن که امیدهای بزرگی برای شطرنجند و شطرنج بازان بزرگ آنها را می شناسند و برای پیروزی به آنها ارزش قایلند .وقتی این سه نفر دور هم جمع بودند و در مورد شطرنج صحبت میکردند محسن و حسن روایت کردند که چگونه استادان بزرگ شطرنج بدون هیچ زحمتی با ۴۰ تا ۵۰ نفر به طور هم زمان شطرنج بازی می کنند .علی بلافاصله گفت : من همین حالا حاضرم در مقابل ۲ نفر به طور هم زمان شطرنج بازی کنم ، نمی خواهید با من بازی کنید ؟؟
محسن و حسن مات و مبهوت شدند که چگونه یک بچه دبیرستانی ، که تازه با حرکت مهره ها آشنا شده به خود جرات میدهد تا ۲ شطرنج باز قوی و پر تجربه را به مبارزه دعوت کند .علی پیشنهاد کرد تنها اجازه بدهید نحوه انتخاب مهره ها برای بازی با من باشد.اما حسن قبول نکرد و مهره خود را انتخاب کرد و بعد علی انتخاب کرد و بعد محسن انتخاب کرد . محسن گفت : علی عزیز ، اگر تو بتوانی دست کم در برابر یکی از ما ۲ نفر شکست نخوری من حاضرم کلاه خودم را بخورم .در پایان مبارزه خطری جدی کلاه محسن را تهدید میکرد و تنها بعد از آن که علی از قرار اولیه و حق خود صرف نظر کرد ، کلاه محسن سالم ماند و خود محسن از خورد آن معاف شد . علی چگونه توانست دست کم در یکی از بازیها از شکست خود جلوگیری کند ؟؟علی در بازی تکی با هر کدام از آن دو شکست میخورد اما حالا توانست یکی از آن دو را شکست دهد چگونه ؟؟در ضمن فرد چهارمی هم وجود نداشت که علی را راهنمایی کند !!!!!!!

جواب –> اون فقط کاری که میکرد این بود که حرکت هرکدام را برای دیگری انجام میداد … یعنی در اصل اون فقط یک واسطه بود و از خودش حرکتی انجام نمی داد

– در یک مهمانی که من در آن شرکت کرده بودم جز من که فقط با یک نفر دیگر دست دادم هر یک از مهمانان با سه نفر دیگر دست داد. پرسش اول : ایا شما میتوانید دست کم تعداد حاضران در این مهمانی را حدس بزنید؟ پرسش دوم:ایا تعداد شرکت کنندگان در این مهمانی میتواند ۲۱ نفر باشد؟

جواب –> دست کم ۶ نفر
اما بیست و یک نفر نمیتوانند باشند زیرا ۱۹*۳+۲=۵۹ که یک عدد زوج نیست.
اما درباره اینکه چرا نمیتوانند بیست و یک نفر باشند.
اگر در شکل فوق مدیر را کنار بگذاریم یک گراف خواهیم داشت با پنج گره .گره آبی از درجه دو(فراموش نکنیم که مدیر را کنار گذاشته ایم)و چهار گره سبز از درجه سه،پس مجموع درج های گره ها برابر ۳*۴+۲=۱۴ میباشد.از طرفی مشخص است که مجموع درجه های یک گراف باید زوج باشد و نمیتواند فرد باشد(در این مثال چون دست دادن یک رابطه دوطرفه است پس مجموع دست دادن ها باید یک عدد زوج باشد).
حال اگر شمار افراد برابر ۲۱ نفر باشد با کنار گذاشتن مدیر بیست نفر خواهیم داشت که یک نفر با دو نفر دست داده است و ۱۹ نفر با سه نفر دست داده اند که مجموع دست دادن ها برابر ۲+۳*۱۹=۵۹ میشود که بطور روشن غیر ممکن است.

– احتمالا تا به حال ایستادن یا نشستن بر روی چهار پایه ای که طول پاهایش مساوی نیست تجربه کرده اید.و لق زدن ان شما را هم کلافه کرده است. حالا فکر میکنید سه پایه هم ممکن است لق بزند؟

جواب –> هر جسمی دارای یک مرکز ثقل (گرانیگاه ) میباشد و بر حسب وضع قرارگیری جسم بر روی زمین نسبت به ماندگاری خود در آن وضعیت دارای دو نوع تعادل است یعنی یا تعادل آن پایدار است یا نا پایدار .
مثلا یک کره همگن را اگر در نظر بگیرید درست در وسط آن مرکز ثقل آن قرار دارد ولی به علت کروی بودن سطح آن تعادل آن نا پایدار است .حال برای اینکه جسمی دارای وضعیت تعادل باشد میبایست :
۱- نیروی مرکز ثقل عمور بر سطح زمین (هموار) یا در امتدار (در راستای) جاذبه زمین باشد .۲- راستای(بردار) مرکز ثقل در وسط جسم و در مرکز نقاط تماس جسم با زمین قرار بگیرد .
در نتیجه اگر بخواهیم سه پایه ما دارای وضعیت تعادل پایدار باشد (کاری به شکل ظاهری آن نداریم )
میبایست آن را به گونه ای طراحی نمود که فاصله مرکز ثقل از پیرامون نشیمنگا (محل نشستن )سه پایه به یک اندازه باشد و اگر از این فقطه فرضی (مرکز ثقل ) ما شاقولی آویزان کنیم فاصله شاقول تا تکیه گاه های سه پایه به یک اندازه باشد .
با این اوصاف حتی در سطوح شیبدار هم می توان سازهای ساخت که دارای تعادل پایدار باشد یعنی مرکز ثقل در راستای جاذبه وخط (بردار ) بیانگر مرکزثقل درست در وسط تکیه گاهها باشد یعنی فاصله آن از تمام تکیه گاه به یک اندازه باشد .

– کم کردن حجم مبادلات پول
در سیستم پول ایالات متحده امریکا هر دلار به ۱۰۰ قسمت تقسیم میشود .هر یک صدم دلار یک سنت است و سکه های ۱- سنتی (پنی )، ۵- سنتی (نیکل )، ۱۰ – سنتی (دایم) و ۲۵ – (کوارتر ) رایج می باشند . اگر شما خریدی ۲۹ سنتی انجام دهید و یک اسکناس یک دلاری خرج کنید ، فروشنده به شما ۲ کوارتر ، ۲ دایم و ۱ پنی خواهد داد ، همچنین میتواند ۷ دایم و ۱ پنی به شما بدهد. بهر حال ۵ سکه باید مبادله شود . آیا راهی برای کم کردن حجم مبادلات وجود دارد؟؟

جواب –> بر اساس تحقیقی که جفری شالیت از دانشگاه واترلو انجام داده است ،در سیستم چهار سکه ای جاری، به طور متوسط در هر مبادله ۷/۴ سکه رد و بدل می شود شالیت کشف کرده است که در سیستم ۴ سکه ای ، ترکیب ۱- سنتی ، ۵- سنتی، ۱۸- سنتی و ۲۵- سنتی حجم مبادلات را به ۸۹/۳ سکه در هر مبادله کاهش می دهد . جالب اینجاست که ترکیب سکه های ۱- سنتی، ۵- سنتی ، ۱۸- سنتی و ۲۹- سنتی نیز نتیجه ای مشابه بدست می دهد . بنابر این با بکارگیری هر یک از سیستمهای فوق ۱۷ درصد در مبادلات سکه صرفه جویی خواهد شد .پس با عوض کردن دایم با سکه ۱۸- سنتی خدمات سریعتری می توان به مشتریان ارائه داد . البته نباید فراموش کرد که محاسبات ذهنی با یک سکه ۱۸ – سنتی مشکل تر و وقت گیر تر از کار کردن با سکه های موجود است . به جای تعویض دایم با یک سکه ۱۸- سنتی ، تحقیق درباره امکان اضافه کردن یک سکه به سیستم موجود نیز قابل بررسی است:
اضافه کردن یک ۳۲- سنتی ، حجم مبادلات را به ۴۶/۳ سکه در هر مبادله کاهش می دهد.نکته جالب تر اینکه اگر استفاده از سکه غیر معمول ۵۰- سنتی نیز بیشتر شود، سکه ای که حجم مبادلات را حداقل می کند یک ۱۸- سنتی است. برای اطلاعات بیشتر می توانید به مقاله : آنچه این کشور احتیاج دارد یک سکه ۱۸ سنتی است . چاپ شده در شماره ۲ جلد ۲۵، مجلهMathematical Intelligencer یا به نشانیwww.math.uwaterloo.ca/~shalit/papers.html مراجعه کنید.

– در قانونی در باره ئ پرچم فرانسه، نوشته شده بود که این سه رنگ عمودی در کنار هم، نباید با پهنای یکسان، بلکه به نسبت آبی ٣٠ ؛ سفید ٣٧ ؛ سرخ ٣٣ ،.دلیل این قانون چه بوده است؟

جواب –>به علت خطای دید، اگر پهنای سه نوار آبی، سفید و قرمز یکسان باشد، چشم ما آنها را یکسان نخواهد دید؛ بنا بر این، فرانسوی ها خودشان این خطا را اصلاح کرده اند و پهنای نوار ها را به گونه ای انتخاب کرده اند که در عمل یکسان دیده می شوند.